Deret aritmetika memiliki ciri-ciri selisih tetap sehingga

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U₁₀ — U₉ = U_n — U_n-1 = b

Suku ke n pada deret aritmetika dinyatakan dengan

U_n = a + (n — 1) b

dengan a = suku pertama
dan b = beda

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan

atau

 

Contoh soal 1 :

3, 7, 11, 15, …..

suku ke 1000 sama dengan ….

Jawab :

a = 3
b = 7 — 3 = 4
U_n = a + (n-1) b
=3 + (n — 1) 4
= 3 + 4n — 4
= 4n — 1
U₁₀₀₀ = 4000 — 1 = 3999

 

Contoh soal 2 :

Jumlah 2000 suku pertama deret

1 + 3 + 5 + 7 + ….

adalah

Jawab :

a = 1
b = 3 — 1 = 2

S₂₀₀₀ = 2000² = 4.000.000

 

Contoh Soal 3 :

Pada barisan aritmetika diketahui
U₇ = 61 dan U₁₅ = 125
maka U₂₀ = …

Jawab :

U₁₅ = a + 14b = 125
U₇ = a + 6b = 61 _
. 8b = 64
. b = 8

a + 6b = 61
a + 56 = 61
a = 5

U₂₀ = a + 19b = 5 + 152 = 157

 

 

Contoh soal 4 :

4 + 6 + 8 + 10 + ……+ x = 10300

maka x = ….

Jawab :

a = 4 b = 6 — 4 = 2 U_n = x = ?
Sn = 10300
n/2(2a + (n-1)b) = 10300
n/2(8 + 2n — 2) = 10300
4n + n² — n = 10300
n² + 3n — 10300 = 0
(n + 103)(n-100) = 0
n = -103 (tidak memenuhi)
n = 100

x = Un = a + (n — 1)b = 4 + 2n — 2 = 2n + 2
x = 200 + 2 = 202

 

Contoh soal 5 :

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 60. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 7500 maka bilangan terkecil adalah …

Jawab :

U₁ + U₂ + U₃ = 60
a + a + b + a + 2b = 60
3a + 3b = 60
a + b = 20
a = 20 — b

U₁.U₂.U₃ = 7500
a(a+b)(a+2b) = 7500
(20-b).20(20-b+2b) = 7500
(20-b)(20 +b) = 375
400 — b² = 375
b² = 25
b = 5

a = 20 — b = 20 — 5 = 15

Bilangan terkecil = 15

 

Contoh soal 6 :

Pada deret aritmetika jumlah n suku pertama deret dinyatakan dengan S_n = 3n² + 8n. Suku ke n deret tersebut adalah …

Jawab :

S_n = 3n² + 8n

S_n-1 = 3(n -1)² + 8(n -1)
= 3(n² — 2n + 1) + 8n — 8
= 3n² — 6n + 3 + 8n — 8
= 3n² + 2n — 5

U_n = S_n — S_n-1
= 3n² + 8n — (3n² + 2n — 5)
= 6n + 5

 

Contoh soal 6 :

Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan suku pertama, suku ke 8 dan suku ke 9 dari barisan aritmetika. Jika sisi miring sama dengan 65 maka sisi siku-siku terpanjang sama dengan

Jawab :

U₉ = 65
a + 8b = 65
a = 65 — 8b

u₁² + U₈² = U₉²
a² + (a+7b)² = 65²
(65 — 8b)² + (65-8b+7b)² = 65²
(65 — 8b)² + (65-b)² = 65²
4225 — 1040b + 64b² + 4225 — 130b + b² = 4225
65b² — 1170b + 4225 = 0
b² — 18b + 65 = 9
(b — 13)(b-5) = 0
b = 13 (tidak mungkin → menyebabkan salah satu sisi negatif)
b = 5

a = 65 — 8b = 65 — 40 = 25
U₈ = a + 7b = 25 + 35 = 60

Jadi, sisi siku-siku terpanjang = 60

 

Contoh soal 7 :

pada deret aritmetika diketahui jumlah 7 suku pertamanya adalah 84 dan jumlah 11 suku pertamanya adalah 172. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

S₇ = 84 S₁₁ =176 S₁₅ = …

Jawab :

S_n = n/2 (2a + (n-1)b)
S₇ = 7/2(2a + 6b) = 84
7(a + 3b) = 84
a + 3b = 12

S₁₁ = 11/2 (2a + 10b) = 176
11(a + 5b) = 176
a + 5b = 16

Sekarang kita eliminasi kedua persamaan

a + 5b = 16
a + 3b = 12 _
. 2b = 4 maka b = 2

a + 3b = 12
a + 6 = 12
a = 6

S₁₅ = 15/2 (2a + 14b)
= 15 (a + 7b) = 15(6 + 14) 300

 

Contoh soal 8 :

Diketahui 400 suku deret deret aritmetika. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 15.000 sedangkan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 7.000. Beda deret sama dengan ….

Jawab :

U₂ + U₄ + U₆ + …+ U₄₀₀ = 15.000
U₁ + U₃ + U₅ + …+ U₃₉₉ = 7.000 _
b + b + b + …. + b = 8000
200b = 800
b = 4

Barisan merupakan pemertaan dari dengan domain bilangan asli. Ada juga yang mendefinisikan barisan adalah bilangan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Pada tersusun atas beberapa suku yang ditulis sebagai

U₁, U₂, U₃, U₄, …..U_n

U_n menyatakan suku ke-n

 

Deret merupakan jumlah suku-suku pada barisan, sehiongga bisa ditulis menjadi

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + …..+ U_n

S_n disebut jumlah n suku pertama

 

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan

S₃ = U₁ + U₂ + U₃

S₂ = U₁ + U₂

S₁ = U₁

Jadi

S₂ — S₁ = U₂

S₃ — S₂ = U₃

S₄ — S₃ = U₄

S₉ — S₈ = U₉

Atau kalau dibalik

U₁₂ = S₁₂ — S₁₁

U₁₅ = S₁₅ — S₁₄

Secara umum bisa ditulis

U_n = S_n — S_n-1

 

U_n = suku ke n

S_n = jumlah n suku pertama

Untuk siswa tingkat SMA, kita hanya mempelajari Deret Aritmetika dan Deret Geometri

 

Deret Aritmetika

 

Ciri-ciri Deret aritmetika, selisih antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Jadi

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U_n — U_n-1 = b

b = beda deret

a = suku pertama

U1 = a

U₂ — U₁ = b maka U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ — U₂ = b maka U₃ = U₂ + b = a + 2b

U₄ — U₃ = b maka U₄ = U₃ + b = a + 3b

Jadi, secara umum

U_n = a + (n — 1) b

Dari sini bisa kita tulis

U_n+1 = a + nb

U_n-1 = a + (n — 2) b

U_2n = a + (2n — 1) b

dan seterusnya

Jumlah n suku pertama bisa dinyatakan dengan

S_n = U₁ + U₂ + ….+ U_n-1 + U_n

Sehingga

S_n = a + a + b + ….+ a + (n-2)b + a + (n -1)b

S_n = a + (n-1)b + a + (n-2)b + ….+ a + b + a +

2S_n = 2a+(n-1)b +2a+(n-1)b + ….+2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b

2S_n = n(2a+(n-1)b)

 

Deret Geometri

Ciri-ciri deret geometri adalah rasionya (pembandingnya) tetap

r = rasio

a = suku pertama

U₁ = a

U₂ = U₁.r = ar

U₃ = U₂ r = ar²

U₄ = U₃r = ar³

Jadi, secara umum

U_n = ar^{n — 1}

 

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ….+ U_n-1 + U_n

maka :

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ….+ ar^{n — 2} + ar^{n — 1}

rS_n = ar + ar² + ar³ + …………….+ ar^{n — 1} + arⁿ

Jika kedua persamaan terakhir dikurangkan maka diperoleh

S_n — rS_n = a — arⁿ

(1-r) S_n = a(1 — rⁿ)

maka

atau

 

Soal-Soal Barisan Dan Deret

 

Soal 1 :

Dari bilangan-bilangan 700, 691, 682, 673, …… maka bilangan yang pertama kali negatif adalah …

Jawab :

a = 700 b = 691 — 700 = –9

Un < 0

a + (n – 1) b < 0

700 + (n — 1)(–9) < 0

700 – 9n + 9 < 0

– 9n < – 709

karena n bulat maka n yang memenuhi adalah

79, 80, 81, 82 , 83 ……dst

Karena yang diminta bilangan yang pertama maka n = 79

Un = a + (n – 1) b = 700 + (79 – 1)(–9)

= 700 + 78(–9) = 700 – 702 = –2

Jadi bilangan negatif yang pertama dalam barisan tersebut adalah –2

 

Soal 2 :

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke 5 adalah 41 dan suku ke 9 adalah 73. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

U₅ = 41 maka a + 4b = 41

U₉ = 73 maka a + 8b = 73

Jika kita eliminasi maka

a + 8b = 73

a + 4b = 41 _

. 4b = 32 maka b = 8

a + 4b = 41

a + 32 = 41

a = 9

 

S₂₀ = 10(18 + 152) =1700

 

Soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U₁ = k ^{x + 1}, U₂= k^{2x — 2} , dan U₈ = k^3x maka x = …

Jawab :

a = U₁ = k ^{x + 1}

U₂= ar = k^{2x — 2}

k ^{x + 1} . r = k^{2x — 2}

U₈ = k^3x

ar⁷ = k^3x

k ^{x + 1} . (k^{x — 3})⁷ = k^3x

k ^{x + 1} .k^{7x — 21} = k^3x

k ^{x + 1 + 7x — 21} = k^3x

k ^{8x — 20} = k^3x

8x — 20 = 3x

5x = 20

x = 4