Barisan Dan Deret

Deret Aritmetika

Deret aritmetika memiliki ciri-ciri selisih tetap sehingga

U2 — U1 = U3 — U2 = U4 — U3 = U10 — U9 = Un — Un-1 = b

Suku ke n pada deret aritmetika dinyatakan dengan

Un = a + (n — 1) b

dengan a = suku pertama
dan b = beda

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan

deret aritmetika

atau

deret aritmetika 2

 

Contoh soal 1 :

3, 7, 11, 15, …..

suku ke 1000 sama dengan ….

Jawab :

a = 3
b = 7 — 3 = 4
Un = a + (n-1) b
=3 + (n — 1) 4
= 3 + 4n — 4
= 4n — 1
U1000 = 4000 — 1 = 3999

 

Contoh soal 2 :

Jumlah 2000 suku pertama deret

1 + 3 + 5 + 7 + ….

adalah

Jawab :

a = 1
b = 3 — 1 = 2

deret aritmetika

deret aritmetika 3

S2000 = 20002 = 4.000.000

 

Contoh Soal 3 :

Pada barisan aritmetika diketahui
U7 = 61 dan U15 = 125
maka U20 = …

Jawab :

U15 = a + 14b = 125
U7 = a + 6b = 61 _
. 8b = 64
. b = 8

a + 6b = 61
a + 56 = 61
a = 5

U20 = a + 19b = 5 + 152 = 157

 

 

Contoh soal 4 :

4 + 6 + 8 + 10 + ……+ x = 10300

maka x = ….

Jawab :

a = 4 b = 6 — 4 = 2 Un = x = ?
Sn = 10300
n/2(2a + (n-1)b) = 10300
n/2(8 + 2n — 2) = 10300
4n + n2 — n = 10300
n2 + 3n — 10300 = 0
(n + 103)(n-100) = 0
n = -103 (tidak memenuhi)
n = 100

x = Un = a + (n — 1)b = 4 + 2n — 2 = 2n + 2
x = 200 + 2 = 202

 

Contoh soal 5 :

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 60. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 7500 maka bilangan terkecil adalah …

Jawab :

U1 + U2 + U3 = 60
a + a + b + a + 2b = 60
3a + 3b = 60
a + b = 20
a = 20 — b

U1.U2.U3 = 7500
a(a+b)(a+2b) = 7500
(20-b).20(20-b+2b) = 7500
(20-b)(20 +b) = 375
400 — b2 = 375
b2 = 25
b = 5

a = 20 — b = 20 — 5 = 15

Bilangan terkecil = 15

 

Contoh soal 6 :

Pada deret aritmetika jumlah n suku pertama deret dinyatakan dengan Sn = 3n2 + 8n. Suku ke n deret tersebut adalah …

Jawab :

Sn = 3n2 + 8n

Sn-1 = 3(n -1)2 + 8(n -1)
= 3(n2 — 2n + 1) + 8n — 8
= 3n2 — 6n + 3 + 8n — 8
= 3n2 + 2n — 5

Un = Sn — Sn-1
= 3n2 + 8n — (3n2 + 2n — 5)
= 6n + 5

 

Contoh soal 6 :

Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan suku pertama, suku ke 8 dan suku ke 9 dari barisan aritmetika. Jika sisi miring sama dengan 65 maka sisi siku-siku terpanjang sama dengan

Jawab :

segitiga aritmetika

U9 = 65
a + 8b = 65
a = 65 — 8b

u12 + U82 = U92
a2 + (a+7b)2 = 652
(65 — 8b)2 + (65-8b+7b)2 = 652
(65 — 8b)2 + (65-b)2 = 652
4225 — 1040b + 64b2 + 4225 — 130b + b2 = 4225
65b2 — 1170b + 4225 = 0
b2 — 18b + 65 = 9
(b — 13)(b-5) = 0
b = 13 (tidak mungkin → menyebabkan salah satu sisi negatif)
b = 5

a = 65 — 8b = 65 — 40 = 25
U8 = a + 7b = 25 + 35 = 60

Jadi, sisi siku-siku terpanjang = 60

 

Contoh soal 7 :

pada deret aritmetika diketahui jumlah 7 suku pertamanya adalah 84 dan jumlah 11 suku pertamanya adalah 172. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

S7 = 84 S11 =176 S15 = …

Jawab :

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S7 = 7/2(2a + 6b) = 84
7(a + 3b) = 84
a + 3b = 12

S11 = 11/2 (2a + 10b) = 176
11(a + 5b) = 176
a + 5b = 16

Sekarang kita eliminasi kedua persamaan

a + 5b = 16
a + 3b = 12 _
. 2b = 4 maka b = 2

a + 3b = 12
a + 6 = 12
a = 6

S15 = 15/2 (2a + 14b)
= 15 (a + 7b) = 15(6 + 14) 300

 

Contoh soal 8 :

Diketahui 400 suku deret deret aritmetika. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 15.000 sedangkan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 7.000. Beda deret sama dengan ….

Jawab :

U2 + U4 + U6 + …+ U400 = 15.000
U1 + U3 + U5 + …+ U399 = 7.000 _
b + b + b + …. + b = 8000
200b = 800
b = 4

Barisan Dan Deret

Barisan merupakan pemertaan dari dengan domain bilangan asli. Ada juga yang mendefinisikan barisan adalah bilangan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Pada tersusun atas beberapa suku yang ditulis sebagai

U1, U2, U3, U4, …..Un

Un menyatakan suku ke-n

 

Deret merupakan jumlah suku-suku pada barisan, sehiongga bisa ditulis menjadi

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …..+ Un

Sn disebut jumlah n suku pertama

 

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan

S3 = U1 + U2 + U3

S2 = U1 + U2

S1 = U1

Jadi

S2 — S1 = U2

S3 — S2 = U3

S4 — S3 = U4

S9 — S8 = U9

Atau kalau dibalik

U12 = S12 — S11

U15 = S15 — S14

Secara umum bisa ditulis

Un = Sn — Sn-1

 

Un = suku ke n

Sn = jumlah n suku pertama

Untuk siswa tingkat SMA, kita hanya mempelajari Deret Aritmetika dan Deret Geometri

 

Deret Aritmetika

 

Ciri-ciri Deret aritmetika, selisih antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Jadi

U2 — U1 = U3 — U2 = U4 — U3 = Un — Un-1 = b

b = beda deret

a = suku pertama

U1 = a

U2 — U1 = b maka U2 = U1 + b = a + b

U3 — U2 = b maka U3 = U2 + b = a + 2b

U4 — U3 = b maka U4 = U3 + b = a + 3b

Jadi, secara umum

Un = a + (n — 1) b

Dari sini bisa kita tulis

Un+1 = a + nb

Un-1 = a + (n — 2) b

U2n = a + (2n — 1) b

dan seterusnya

Jumlah n suku pertama bisa dinyatakan dengan

Sn = U1 + U2 + ….+ Un-1 + Un

Sehingga

Sn = a + a + b + ….+ a + (n-2)b + a + (n -1)b

Sn = a + (n-1)b + a + (n-2)b + ….+ a + b + a +

2Sn = 2a+(n-1)b +2a+(n-1)b + ….+2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b

2Sn = n(2a+(n-1)b)

deret aritmetika

 

Deret Geometri

Ciri-ciri deret geometri adalah rasionya (pembandingnya) tetap

deret geometri

r = rasio

a = suku pertama

U1 = a

U2 = U1.r = ar

U3 = U2 r = ar2

U4 = U3r = ar3

Jadi, secara umum

Un = arn — 1

 

Sn = U1 + U2 + U3 + ….+ Un-1 + Un

maka :

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ….+ arn — 2 + arn — 1

rSn = ar + ar2 + ar3 + …………….+ arn — 1 + arn

Jika kedua persamaan terakhir dikurangkan maka diperoleh

Sn — rSn = a — arn

(1-r) Sn = a(1 — rn)

makaderet geometri

atau

deret geometri 2

 

Soal-Soal Barisan Dan Deret

 

Soal 1 :

Dari bilangan-bilangan 700, 691, 682, 673, …… maka bilangan yang pertama kali negatif adalah …

Jawab :

a = 700 b = 691 — 700 = –9

Un < 0

a + (n – 1) b < 0

700 + (n — 1)(–9) < 0

700 – 9n + 9 < 0

– 9n < – 709

nilai n aritmetika

karena n bulat maka n yang memenuhi adalah

79, 80, 81, 82 , 83 ……dst

Karena yang diminta bilangan yang pertama maka n = 79

Un = a + (n – 1) b = 700 + (79 – 1)(–9)

= 700 + 78(–9) = 700 – 702 = –2

Jadi bilangan negatif yang pertama dalam barisan tersebut adalah –2

 

Soal 2 :

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke 5 adalah 41 dan suku ke 9 adalah 73. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

U5 = 41 maka a + 4b = 41

U9 = 73 maka a + 8b = 73

Jika kita eliminasi maka

a + 8b = 73

a + 4b = 41 _

. 4b = 32 maka b = 8

a + 4b = 41

a + 32 = 41

a = 9

sn aritmetika

 

S20 = 10(18 + 152) =1700

 

Soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U1 = k x + 1, U2= k2x — 2 , dan U8 = k3x maka x = …

Jawab :

a = U1 = k x + 1

U2= ar = k2x — 2

k x + 1 . r = k2x — 2

rasio

U8 = k3x

ar7 = k3x

k x + 1 . (kx — 3)7 = k3x

k x + 1 .k7x — 21 = k3x

k x + 1 + 7x — 21 = k3x

k 8x — 20 = k3x

8x — 20 = 3x

5x = 20

x = 4