Super Matematika

Dalam matematika. pemilihan jarak selalu diambil yang terdekat. Jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak 2 garis, jarak garis ke bidang dan jarak 2 bidang selalu dipilih yang terdekat. Agara jaraknya terdekat maka dipilih yang tegak lurus.

Contoh soal 1

Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …

Jawab :

cm

AE = ½AC = 7 cm

 

Contoh soal 2

Pada limas beraturan D.ABC yang panjang rusuknya 12 cm, jarak titik D ke bidang ABC sama dengan …

Jawab :

AE² = AB² — BE² = 12² — 6² = 144 — 36 = 108

DE² = DC² — CE² = 12² — 6² = 144 — 36 = 108

Dengan memakai aturan cosinus pada segitiga ADE maka

DE² = AD² + AE² — 2AD.AE cos α

108 = 144 + 108 — 2.12.6√3 cos α

0 = 144  — 144√3 cos α

 

Contoh soal 3 :

Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ = 12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …

 

 

Jawab :

BP² = BA² + AP² = 432 + 144 = 576

BP = 24

t = 30^o ====> sin t = ½

 

 

Contoh soal 4 :

Pada kubus KLMNPQRS yang rusuknya 12 cm, jarak titik K ke bidang NLP sama dengan …

Jawab :

Agar lebih mudah, kita gambar diagonal bidang KMRP

Diagonal NLP diwakili oleh garis AP

PA² = PK² + KA² = 144 + 72 = 216

Pada segitiga PKB berlaku

Pada segitiga PKA berlaku

maka bisa disimpulkan

 

Contoh soal 5 :

Diketahui balok ABCDEFGH memiliki rusuk AB = AD = 12 cm, sedangkan AE sama dengan 24 cm. Jarak G ke BDE sama dengan …

Jawab :

Agar lebih mudah mengamatinya kita gambar bidang diagonal ACGE

PE² = PA² + AE² = 72 + 576 = 648

Pada segitiga PAE

Pada segitiga EQG

Dari kedua persamaan bisa disimpulkan

 

Contoh soal 6 :

Pada kubus ABCDEFGH yang panjang rusuknya 18 cm, titik P pada DH sehingga DP:PH sama dengan 2:1. Jarak P ke ACH sama dengan …

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal BDHF

 

TH² = TD² + DH² = 162 + 324 = 486

Pada segitiga TDH berlaku

Pada segitiga PQH berlaku

dari kedua persamaan terakhir bisa disimpulkan

 

Contoh soal 7 :

Pada kubus ABCDEFGH yang rusuknya 12 cm, titik P pada AG sehingga AP:PG = 3:1. Jarak P ke BDG sama dengan …

 

Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal ACGE

TG² = TC² + CG² = 72 + 144 = 216

x = y — z

sin x = sin (y — z)

sin x = sin y cos z — cos y sin z

Pada segitiga PQG berlaku

Dengan demikian

Jadi

 

Contoh soal 8 :

Pada balok ABCDEFGH, Panjang AB = 3cm, AD = 2 cm, dan AE = 1 cm. Jarak F ke BEG sama dengan ….

Pada bagian sebelumnya ( Rumus Trigonometri Perkalian Menjadi Penjumlahan ) dibahas 4 rumus berikut
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A — B)
2 cos A sin B = sin (A + B) — sin (A — B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A — B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) — cos (A — B)

misalkan
A + B = C
A — B = D
jika dijumlahkan jika dikurangkan
2A = C + D 2B = C — D
A = ½(C + D) B = ½(C — D)

Dengan demikian rumus di atas bisa diubah menjadi

2 sin ½(C + D) cos ½(C — D) = sin C + sin D
2 cos ½(C + D) sin ½(C — D) = sin C — sin D
2 cos ½(C + D) cos ½(C — D) = cos C + cos D
-2 sin ½(C + D) sin ½(C — D) = cos C — cos D

Penulisan bisa diubah menjadi

sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C — D)
sin C — sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C — D)
cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C — D)
cos C — cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C — D)

 

Contoh soal 1 :

sin 75^o + sin 15^o = …
Jawab :
sin C + sin D = 2 sin ½(C + D) cos ½(C — D)
sin 75^o + sin 15^o = 2 sin ½(75^o + 15^o) cos ½(75^o — 15^o)
= 2 sin 45^o cos 30^o
= 2. ½√2 ½√3 = ½√6

 

Contoh soal 2 :

cos 52½^o + cos 37½^o = …

 

Jawab :

cos C + cos D = 2 cos ½(C + D) cos ½(C — D)

cos 52½^o + cos 37½^o = 2 cos ½(52½^o + 37½^o) cos ½(52½^o — 37½^o)
= 2 cos 45^o cos 15^o
= 2.½√2. cos (45^o — 30^o)
= √2 (cos 45^o cos 30^o + sin 45^o sin 30^o)
= √2 (½√2.½√3 + ½√2.½)
= √2 (¼ √6 + ¼√2)
= ¼√12 + ¼.2
= ½√3 + ½

 

Contoh soal 3 :

sin 67½^o — sin 22½^o = …

 

Jawab :

sin C — sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C — D)

sin 67½^o — sin 22½^o
= 2 cos ½(67½^o + 22½^o) sin ½(67½^o — 22½^o)
= 2 cos 45^o sin 22½^o

 

Catatan :

cara mencari sin 22½^o adalah sbb :
cos 2x = 1 — 2 sin² ½x
dengan mengganti x dengan 22½^o maka diperoleh
cos 45^o = 1 — 2 sin² 22½^o

Jadi

 

Contoh soal 4 :

cos 37½^o — cos 7½^o = …

 

Jawab :
cos C — cos D = -2 sin ½(C + D) sin ½(C — D)
cos 37½^o — cos 7½^o
= — 2 sin ½(37½^o + 7½^o) sin ½(37½^o — 7½^o)
= — 2sin 22½^o sin 15^o

 

Catatan :

Untuk mendapatkan sin 22½^o bisa dilihat di contoh soal 3

Untuk mendapatkan sin 15^o adalah sbb :

cos 2x = 1 — 2 sin² ½x
dengan mengganti x dengan 15^o maka diperoleh
cos 30^o = 1 — 2 sin² 15^o

Jadi

 

Contoh soal 5 :

sin 10^o — sin 110^o + sin 130^o = …

Jawab :
sin 10^o — sin 110^o + sin 130^o
= (sin 130^o — sin 110^o) + sin 10^o
= 2 cos ½ (130^o + 110^o) sin ½ (130^o — 110^o) + sin 10^o
= 2 cos 120^o sin 10^o + sin 10^o
= 2(-½)sin 10^o + sin 10^o
= -sin 10^o + sin 10^o
= 0

 

Contoh soal 6 :

cos 40^o cos 80^o + cos 40^o cos 160^o + cos 80^o cos 160^o =

Jawab :
cos 40^o cos 80^o + cos 40^o cos 160^o + cos 80^o cos 160^o
=cos 40^o (cos 80^o + cos 160^o) + cos 160^o cos 80^o
=cos 40^o (cos 160^o + cos 80^o ) + ½ cos (160^o +80^o) + ½cos (160^o — 80^o)
=cos 40^o.2cos ½(160^o + 80^o) cos ½(160^o — 80^o) + ½ cos 240^o + ½ cos 80^o
=cos 40^o . 2cos 120^o cos 40^o — ¼ + ½ cos 80^o
=cos 40^o . 2(-½) cos 40^o – ¼ + ½ (2cos² 40^o — 1)
= — cos² 40^o – ¼ + cos² 40^o — ½
= — ¾

 

Contoh soal 7 :

sin 54^o — sin 18^o = …

Jawab :

sin C — sin D = 2 cos ½(C + D) sin ½(C — D)
sin 54^o — sin 18^o = …
= 2 cos ½(54^o + 18^o) sin ½(54^o — 18^o)
= 2 cos 36^o sin 18^o

 

Contoh soal 8 :

Buktikan

Jawab :

 

Contoh soal 9 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

sin A + sin B + sin C = 4 cos ½A cos ½B cos ½C

Jawab :

Pada segitiga berlaku A + B + c = 180^o

sin A + sin B + sin C
= sin A + sin B + sin (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B) + 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A + B)
= 2 sin ½ (A + B) [cos ½ (A — B) + cos ½ (A + B)]
= 2sin (90^o — ½C) [cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B + cos ½A cos ½B — sin ½A sin ½B]
= 2 cos ½C (2cos ½A cos ½B)
= 4cos ½A cos ½B cos ½C

 

Contoh soal 10 :

Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa

cos A + cos B + cos C = 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1

Jawab :

A + B + C = 180^o
cos A + cos B + cos C =
= cos A + cos B — cos (A + B)
= 2 cos ½(A + B) cos ½(A — B) — 2 cos² ½(A + B) + 1
= 2 cos ½(A + B) [cos ½(A — B) — cos ½(A + B)] + 1
= 2 cos (90^o — ½C)[cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B — cos ½A cos ½B + sin ½A sin ½B] + 1
= 2 sin ½C [2sin ½A sin ½B] + 1

= 4 sin ½A sin ½B sin ½C + 1