Super Matematika

Deret Yang Memakai Logaritma

 

Jika setiap suku pada deret geometri diberi logaritma maka akan terbentuk deret aritmetika. Namun tidak setiap deret yang mengandung logaritma merupakan deret aritmetika.

 

Jika kita memiliki barisan bilangan

10, 100, 1000, 10.000, 100.000, ……. dan seterusnya

Maka sudah dipastikan bahwa barisan ini merupakan barisan geometri

Jika setiap suku barisan ini kita beri log maka akan berubah menjadi barisan aritmetika

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

log 10, log 100, log 1000, log 10.000, log 100.000, …dst

atau

1, 2, 3, 4, 5, …..dst

 

Jika ada barisan bilangan

2, 8, 32, 128, 512, …..dst

Maka sudah dipastikan bahwa barisan ini merupakan barisan geometri

Jika setiap suku diberi ²log maka akan menjadi barisan aritmetika

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

²log 2, ²log 8, ²log 32, ²log 128, ²log 512, …..dst

atau

1, 3, 5, 7, 9, …dst

 

Sekarang kita coba dengan bentuk umum barisan geometri

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ……dst

Jika setiap suku diberi log maka akan terbentuk barisan aritmetika

 

 

Berikut ini adalah barisan aritmetikanya

log a, log ar, log ar², log ar³, log ar⁴, log ar⁵, log ar⁶, ……

atau

log a , log a + log r, log a + log r², log a + log r³, log a + log r⁴, log a + log r⁵, ….

atau

log a, log a + log r, log a + 2log r, log a + 3log r, log a + 4log r, log a + 5log r, ….

Hasil terakhir tampak sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama log a dan beda log r.

Deret aritmetika dan Deret Geometri merupakan 2 deret yang sering dipelajari di SMA ataupun SMP

Pada deret aritmetika memiliki beda tetap, sedangkan pada deret geometri memiliki rasio tetap

Pada deret aritmetika berlaku

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U_n — U_{n — 1} = b

U_n = a + (n — 1) b

 

Sementara pada deret geometri berlaku

U_n = ar^{n — 1}

atau

 

Contoh Soal 1

Diketahui 3 bilangan membentuk deret aritmetika dengan beda 2. Jika bilangan ketiga ditambah dengan 1 maka terbentuk deret geometri. Suku ketiga deret geometri adalah ….

Jawab :

Deret aritmetika bisa dimisalkan

a, a + b, a + 2b

Karena bedanya 2 maka bisa ditulis menjadi

a , a + 2, a + 4

Suku ketiga ditambah 1, sehingga menjadi deret geometri, yaitu

a, a + 2, a + 5

Pada deret geometri berlaku

U₁.U₃ = U₂²

a(a + 5) = (a + 2)²

a² + 5a = a² + 4a + 4

a = 4

Suku ketiga deret geometri adalah

a + 5 = 4 + 5 = 9

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui Un adalah suku ke n pada barisan aritmetika. Jika diketahui U₁, U₃, U₁₃, dan U_x membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan ….

Jawab :

U_n = a + (n — 1) b

U₁ = a

U₃ = a + 2b

U₁₃ = a + 12b

U_x = a + (x — 1) b

Maka

(a + 2b)² = a(a + 12b)

a² + 4ab + 4b² = a² + 12ab

4b² = 8ab

Jika kedua ruas dibagi dengan 4b maka

b = 2a

 

2ax — a = 125a

2ax = 126a

x = 63

 

Contoh Soal 3 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = n² + 3n + 5. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 1

(B) Deret aritmetika dengan beda 2

(C) Deret geometri dengan rasio 2

(D) Deret geometri dengan rasio 3

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

 

Jawab :

S_n = n² + 3n + 5

S₁ = 1² + 3.1 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9

S₂ = 2² + 3.2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15

S₃ = 3² + 3.3 + 5 = 9 + 9 + 5 = 23

 

U₁ = S₁ = 9

U₂ = S₂ — S₁ = 15 — 9 = 6

U₃ = S₃ — S₂ = 23 — 15 = 8

 

U₂ — U₁ = 6 — 9 = — 3

U₃ — U₂ = 8 — 6 = 2

 

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E

 

 

Contoh Soal 4 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = 5.3ⁿ — 4. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 3

(B) Deret aritmetika dengan beda 4

(C) Deret geometri dengan rasio 3

(D) Deret geometri dengan rasio 4

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

Jawab :

S_n = 5.3ⁿ — 4

S₁ = 5.3¹ — 4 = 15 — 4 = 11

S₂ = 5.3² — 4 = 45 – 4 = 41

S₃ = 5.3³ — 4 = 135 – 4 = 131

 

U₁ = S₁ = 11

U₂ = S₂ — S₁ = 41 — 11 = 30

U₃ = S₃ — S₂ = 131 – 41 = 90

 

U₂ — U₁ = 30 – 11 = 19

U₃ — U₂ = 90 – 30 = 60

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E