Setiap fungsi bisa dinyatakan dengan deret maclaurin, tidak ketinggalan juga untuk fungsi sinus

Bentuk umum deret maclaurin untuk fungsi f(x) adalah

Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = sin x maka

f(x) = sin x —–> f(0) = 0

f ‘(x) = cos x —–> f ‘(0) = 1

f ”(x) = — sin x —–> f ”(0) = 0

f ”'(x) = — cos x —–> f ”'(0) = –1

f⁽⁴⁾ (x) = sin x —–> f⁽⁴⁾ (0) = 0

f⁽⁵⁾ (x) = cos x —–> f⁽⁵⁾ (0) = 1

f⁽⁶⁾ (x) = — sin x —–> f⁽⁶⁾ (0) = 0

f⁽⁷⁾ (x) = — cos x —–> f⁽⁷⁾ (0) = –1

………………….

dan seterusnya

karena nilai f(0), f”(0), f⁽⁴⁾ (x), f⁽⁶⁾ (x) masing-masing bernilai 0 maka bentuk deret maclaurin bisa kita tulis menjadi

Dengan mengganti f(x) dengan sin x serta nilai saat x = 0 maka bentuknya menjadi

atau

Nilai-nilai x yang dipakai di sini adalah dalam radian, bukan dalam derajat. Dengan mengetahui deret maclaurin sinus ini, kita makin bisa memahami mengapa kalkulator bisa menghitung nilai sinus begitu cepat.

Deret maclaurin ini bisa juga dipakai membantu menghitung limit trigonometri saat x mendekati nilai nol.

 

Apa jadinya jika deret macalurin di atas kita turunkan ?

Ruas sebelah kiri adalah sinus , sehingga turunannya adalah cosinus, sementara ruas kanan tinggal menggunakan aljabar biasa. Dengan demikian hasilnya menjadi

atau

Inilah deret maclaurin cosinus

“Om Telolet Om”, merupakan kata-kata yang sering muncul ketika anak-anak meminta kepada sopir bus untuk membunyikan klakson telolet. Kali ini ternyata matematika juga tidak kalah, karena ada juga matematika telolet

Bagaimana prosesnya ?

Mari kita lihat

Diberikan sebuah persamaan sebagai berikut :

(di persamaan ini ada 2 buah huruf O, bukan nol yach …)

Sekarang kita coba pindahkan T ke ruas kanan

Pada penjumlahan 2 buah logaritma kita bisa mengalikan numerusnya, sehingga persamaan menjadi

karena ln = ^elog maka fungsi bisa kita tulis menjadi

Dengan ^elog maka

biar menarik kita pindahkan T ke ruas kanan sehingga

2MO = –T.e^O.L2+T

Pada perkalian berlaku komutatif, sehingga MO = OM

2OM = –T.e^O.L2+T

Karena e^a+b=e^a.e^b maka

2OM = –T.e^O.L2.e^T

Selanjutnya L² kita ubah menjadi L.L, sehingga

2OM = –T.e^L.O.L.e^T

Semua kita pindahkan ke ruas kiri, sehingga

2OM + T.e^L.O.L.e^T = 0

Karena 2OM = OM + OM maka

OM + T.e^L.O.L.e^T + OM = 0

 

Jadilah matematika TELOLET yang bentuknya

OM + T.e^L.O.L.e^T + OM = 0