Rumus Trigonometri

Rumus-rumus Trigonometri

 

Definisi

trigonometri dasar

 

Rumus-rumus dasar

sin2 x + cos2 x = 1

sin2 x = 1 — cos2 x

cos2 x = 1 — sin2 x

tan2 x + 1 = sec2 x

cot2 x + 1 = csc2 x

 

Rumus-rumus segitiga

Aturan Sinus

Aturan Cosinus

a2 = b2 + c2 — 2bc cos A

b2 = a2 + c2 — 2ac cos B

c2 = a2 + b2 — 2ab cos C

Luas segitiga

L = 1/2 ab sin C

L = 1/2 ac sin B

L = 1/2 bc sin A

 

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B) = sin A cos B — cos A sin B

cos (A+B) = cos A cos B — sin A sin B

cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

 

Rumus Sudut Rangkap

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = cos2 x — sin2 x

cos 2x =2cos2 x — 1

cos 2x = 1-2sin2 x

 

Rumus perkalian menjadi penjumlahan

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B)

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)

2 sin A cos B = cos (A+B) — cos (A-B)

 

Rumus penjumlahan menjadi perkalian

sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2 (A — B)

sin A — sin B = 2 cos 1/2 (A + B) sin 1/2 (A — B)

cos A + cos B =2 cos 1/2 (A + B) cos 1/2 (A — B)

cos A — cos B = -2 sin 1/2 (A + B) sin 1/2 (A — B)

 

Bentuk a cos x + b sin x

aCos x + bSin x = k cos (x — α)

Contoh Soal Integral

Contoh 1 : Integral Aljabar Sederhana

∫(x5 + 6x2 — 8x -9) dx = …

.Jawab :

∫(x5 + 6x2 — 8x -9) dx

 

Contoh 2 : Integral Subtitusi

∫ x2 (x3 +7)12 dx = …

Jawab :

misalkan y = x3 +7

maka

sehingga

Jadi :

∫ x2 (x3 +7)12 dx

 

Contoh 3 : Integral Trigonometri

∫ (x-4) sin (x-2)(x-6) dx = …

Jawab :

misalkan

y = (x-2)(x-6) = x2 — 8x + 12

maka

sehingga

∫ (x-4) sin (x-2)(x-6) dx

=∫ (x-4) sin (x2 — 8x + 12) dx

 

Contoh 4 : Integral parsial

∫x sin 6x dx = …

Jawab :

u = x → du = dx

dv = sin 6x dx →

∫ u dv = uv — ∫ v du

 

 

Contoh 5 : Integral Siklometri

Jawab :

misalkan x = 4 sin θ

maka dx = 4 cos θ dθ

karena sin θ =

maka θ = arc sin ……………………………………….(1)

kita bisa menggambar segitiga berikut :

segitiga siklometri

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

……………………..(2)

sehingga

 

Contoh 6 : Aplikasi Integral tak tentu

Diketahui f “(x) = 6x + 8 . Jika gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik P(2,5) adalah 10 maka f(x) = ….

Jawab :

f “(x) = 6x + 8

maka

f ‘ (x) = ∫ (6x + 8) dx= 3x2 + 8x + k

gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik P(2,5) adalah 10

artinya f ‘(2)= 10

3.22 + 8.2 + k=10

12 + 16 + k = 10

k = -18

maka

f ‘ (x) = 3x2 + 8x -18

f(x) = ∫(3x2 + 8x -18) dx

f(x) = x3+4x2 -18x + c

Kurva melalui titik P(2,5) artinya

f(2) = 5

23+4.22 -18.2 + c=5

8 + 16 — 36 + c = 5

-12 + c = 5

c = 17

Jadi

f(x) = x3+4x2 -18x + 17

 

 

Contoh 7 : Menghitung luas

Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 — x2 dengan sumbu x adalah …

Jawab :

9 — x2 = 0

(3 + x)(3 — x) = 0

x = -3 atau x = 3

luas daerah

L=27 — 9 -(-27 +9) = 18 + 18 = 36

 

Contoh 8 : Volume benda putar

Tentukan volumenya jika daerah yang dibatasi oleh y = sin x untu 0 ≤ x ≤ π diputar mengelilingi sumbu x

Jawab :

benda putar

integral tentu