Trigonometri

Rumus Trigonometri Perkalian Menjadi Penjumlahan

Perhatikan keempat rumus trigonometri jumlah sudut berikut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ……………………(1)
sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B …………………….(2)
cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B ……………………(3)
cos (A + B) = cos A cos B + sin A sin B ……………………(4)

Jika rumus (1) ditambah rumus (2) maka

sin (A+B) + sin (A-B) = 2 sin A cos B

sehingga

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) …………………….(5)

Jika rumus (1) dikurangi rumus (2) maka

sin (A+B) — sin (A-B) = 2 cos A sin B

sehingga

2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B) ……………………….(6)

Jika rumus (3) ditambah rumus (4) maka

cos (A+B) + cos (A-B) = 2 cos A cos B

sehingga

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) …………………….(7)

Jika rumus (3) dikurangi rumus (4) maka

cos (A+B) — cos (A-B) = -2 sin A sin B

sehingga

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B) ……………………..(8)

Jadi yang dimasud rumus trigonometri perkalian menjadi penjumlahan adalah

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

 

contoh soal 1

2 sin 75o cos 15o = ..

Jawab :

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 sin 75o cos 15o = sin (75o + 15o) + sin (75o — 15o)
= sin 90o + sin 60o

 

Contoh soal 2

2 cos 75o cos 15o = ..

Jawab :

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)

2 cos 75o cos 15o = cos (75o + 15o) + cos (75o — 15o)
= cos 90o + cos 60o
= 0 + 1/2 = 1/2

 

contoh soal 3

cos 67,5o sin 22,5o = …

Jawab :

2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B)

2cos 67,5o sin 22,5o = sin (67,5o+22,5o) — sin (67,5o-22,5o)

= sin 90o — sin 45o

Jadi

cos 67,5o sin 22,5o

 

Contoh soal 4

sin 52,5o sin 7,5o = …

Jawab :

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

-2sin 52,5o sin 7,5o

= cos (52,5o+7,5o) — cos (52,5o-7,5o)

= cos 60o — cos 45o

Jadi

sin 52,5o sin 7,5o =

 

Contoh soal 5

Jika sin 54o — sin 18o = x maka sin 54o sin 18o = …

Jawab :

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

-2 sin 54o sin 18o = cos (54o+18o) — cos (54o-18o)

= cos 72o — cos 36o = cos (90o — 18o) — cos (90o — 54o)

= sin 18o — sin 54o = -(sin 54o — sin 18o) = -x

sin 54o sin 18o = x/2

 

Contoh soal 6

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika sin B cos C = 0,6 maka sin (B — C) = …

Jawab :

A = 90o maka B + C = 90o

sin B cos C = 0,6
2sin B cos C = 1,2
sin (B + C) + sin (B — C) = 1,2
sin 90o + sin (B — C) = 1,2
1 + sin (B — C) = 1,2
sin (B — C) = 0,2

 

Contoh soal 7

Pada segitiga siku-siku ABC, cos A cos B = 0,3 maka cos (A-B) = …

Jawab :

Karena cos 90o = 0 maka segitiga tidak mungkin siku-siku di A atau B. Segitiga hanya bisa siku-siku di C sebab cos A cos B = 0,3

C = 90o maka A + B = 90o

2cos A cos B = 0,6
cos (A+B) + cos (A-B) = 0,6
cos 90o + cos (A-B) = 0,6
0 + cos (A-B) = 0,6
cos (A — B) = 0,6

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus adalah rumus trigonometri yang bisa dipakai pada segitiga sembarang. Disebut aturan Cosinus karena menggunakan fungsi Cosinus. Pada segitiga ABC, rumus aturan cosinus adalah sebagai berikut

a2 = b2 + c2 — 2 bc cos A

b2 = a2 + c2 — 2ac cos B

c2 = a2 + b2 — 2ab cos C

segitiga

Agar lebih mudah dipahami perhatikan contoh-sontoh soal berikut

 

Contoh 1 :

Pada segitiga ABC, AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 7 cm. Nilai cos C = …

Jawab :

Aturan Cosinus

c2 = a2 + b2 — 2ab cos C

16 = 36 + 49 — 2.6.7 cos A

84 cos A = 69

cos A = 69/84 = 23/28

 

Contoh 2 :

Pada jajaran genjang ABCD, ∠BAD = 60o. Jika AB = 16 cm dan AD = 10 cm maka panjang AC = …

Jawab :

aturan cosinus 2

 

Perhatikan gambar

∠BAC ≠ ∠CAD, sebab AB ≠ AD

Untuk mempermudah perhitungan ini kita perpanjang garis AB

jajaran genjang

AC2 = AB2 + BC2 — 2 AB.BC cos 120o

AC2 = 162 + 102 — 2 16.10.(-1/2)

AC2 = 256 + 100 + 160 = 516

 

Contoh 3 :

Pada segitiga ABC, ∠A = 60o, AB = 7 cm, BC = √109 cm. Panjang AC = …

Jawab :

segitiga aturan cosinus

a2 = b2 + c2 — 2 bc cos 60o,

109 = b2 + 49 — 2.b.7.(1/2)

109 = b2 + 49 — 7b

b2 — 7b — 60 = 0

(b — 12)(b + 5) = 0

b = 12 atau b = -5

Jawaban yang memenuhi adalah AC = 12 cm

 

Contoh 4 :

Pada segitiga ABC AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan AC = 7 cm. Panjang garis berat yang ditarik dari A adalah ….

Jawab :

garis berat segitiga

 

AC2 = AB2 + BC2 — 2AB.BC cos B

49 = 36 + 64 — 2.6.8.cos B

96 cos B = 51

cos B = 51/96 = 17/32

AD2 = AB2 + BD2 — 2AB.BD cos B

AD2 = 36 + 16 — 2.6.4 (17/32)

AD2 = 52 — 51/2 = 53/2