Super Matematika

Aturan sinus merupakan salah satu rumus pada trigonometri pada segitiga sembarang. Disebut aturan sinus karena menggunakan fungsi sinus. Pada segitiga ABC, rumus tersebut bisa ditulis menjadi

Supaya lebih jelas pelajari contoh-contoh berikut

 

Contoh 1 :

Pada segitiga ABC nilai dari diketahui ∠A = 60^o dan ∠B = 45^o. Jika panjang sisi BC = 12 cm maka panjang sisi AC = …

Jawab :

a = BC = 12 cm

AC = b = ?

 

Contoh 2 :

Pada segitiga ABC, ∠A = 30^o, BC = 3 cm, dan AC = 3√2 cm.∠C = …

Jawab :

3 sin B = 3√2 sin 30^o

sin B = √2 sin 30^o

sin B = √2 . 0,5

sin B = 0,5 √2

∠B = 30^o

∠A + ∠B + ∠C = 180^o

30o + 45o + ∠C = 180^o

∠C = 105^o

 

Contoh 3 :

Pada ΔABC, ∠A =60^o, dan ∠B = 45^o. Titik D pada AB sehingga ∠ACD = 45^o. Jika AD = 4 cm maka BD = ….

Jawab :

∠A + ∠B + ∠BCD + ∠ACD = 180o

60^o + 45^o + ∠BCD + 45^o = 180^o

∠BCD = 30^o

Pada Δ ACD berlaku :

Pada ΔBCD berlaku

cm

Rumus jumlah dan selisih sudut pada trigonometri, terdiri dari sinus jumlah sinus selisih, cosinus jumlah, cosinus selisih, tangen jumlah dan tangen selisih. Rumus-rumus tersebut adalah

 

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B) = sin A cos B — cos A sin B

cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B

cos (A — B) = cos A cos B + sin A sin B

Nah, supaya ahli trentu saja harus banyak latihan. Berikut ini kami berikan contoh-contoh soal buat latihan

 

Contoh 1 :

Buktikan bahwa

sin x + sin (x + 120^o) + sin (x + 240^o) = 0

Jawab :

sin x + sin (x + 120^o) + sin (x + 240^o)

= sin x + sin x cos 120^o + cos x sin 120^o + sin x cos 240^o + cos x sin 240^o

=0

(terbukti)

 

Contoh 2 :

Jika sin A = 4/5 dan sin B = 8/17, sedangkan A dan B adalah sudut lancip maka sin (A-B) = ….

Jawab :

sin A = 4/5 maka cos A = 3/5

sin B = 8/17 maka cos B = 15/17

sin (A-B) = sin A.cos B — cos A.sin B

 

Contoh 3 :

cos 75^o = ….

Jawab :

cos 75^o = cos (45+30)^o

= cos 45^o cos 30^o — sin 45^o sin 30^o

 

Contoh 4 :

tan 15^o = …

Jawab :

tan 15^o = tan (60-45)^o

 

Contoh 5 :

Diketahui cos A cos B = 0,7 dan sin A sin B = 0,1 maka sin (A-B) = …

Jawab :

cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B = 0,7 + 0,1 = 0,8

maka

sin (A — B) = 0,6

 

Contoh 6 :

sin 15^o = ….

Jawab :

sin 15^o = sin (45 — 30)^o

=sin 45^o cos 30^o — cos 45^o sin 30^o

 

Contoh 7 :

Pada segitiga siku-siku ABC diketahui cos A cos B = 0,1 maka cos (A -B) = …

 

Jawab :

Jika siku-siku di A maka cos A = 0 (tidak mungkin sebab cos A cos B = 0,1)

Jika siku-siku di B maka cos A = 0 (tidak mungkin sebab cos A cos B = 0,1)

Dengan demikian segitiga pastilah siku-siku di C, sehingga C = 90^o

Akibatnya A + B = 90^o dan cos (A + B) = 0

cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B

0 = 0,1 — sin A sin B

sin A sin B = 0,1

cos (A — B) = cos A cos B + sin A sin B

= 0,1 + 0,1 = 0,2

 

Contoh 8 :

Pada segitiga ABC, buktikan bahwa

tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C

Jawab :

A + B + C = 180^o

maka

A + B = 180^o — C

tan (A + B) = tan (180^o — C)

tan A + tan B = -tan C + tan A.tan B.tan C

tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C

(terbukti)

 

Contoh 9 :

Tentukan nilai dari

tan 35^o.tan 10^o + tan 35^o + tan 10^o

Jawab :

tan 35^o + tan 10^o = 1 -tan 35^o.tan 10^o

tan 35^o.tan 10^o + tan 35^o + tan 10^o=1