Matematika Ceria

Jumlah Pangkat 3 Bilangan Asli

Jika kita menghitung jumlah pangkat 3 bilangan asli berurutan maka hasilnya sama dengan kuadrat jumlah bilangan asli berurutan. Agar lenbih mudah memahaminya, berikut ini ilustrasi yang bisa dilihat

13 = 12

13 + 23 = (1 + 2)2

13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2

13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)2

dan seterusnya, sehingga bisa kita ambil kesimpulan

13 + 23 + 33 + 43 + …. + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + …. + n)2

 

Jumlah bilangan asli yang berurutan bisa kita hitung dengan rumus Sn deret aritmetika.

1 + 2 + 3 + 4 + …. + n

maka a = U1 = 1

dan b = U2 – U1 = 2 — 1 = 1

Dengan demikian

13 + 23 + 33 + 43 + …. + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + …. + n)2

Bilangan 111 kuadrat

Bilangan 11…11 jika dikuadratkan akan menjadi bentuk yang teratur sebagai berikut

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

111111112 = 123456787654321

1111111112 = 12345678987654321

 

Bentuk ini bisa kita tulis dalam aljabar

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

(x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

(x3 + x2 + x + 1)2 = x6 + 2x5 + 3x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1

(x4 + x3 + x2 + x + 1)2 = x8 + 2x7 + 3x6 + 4x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1

(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 = x10 + 2x9 + 3x8 + 4x7 + 5x6 + 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1

 

cukup menarik bukan ?