Integral

Integral Tertentu

Integral tertentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas yang diberikan biasanya berupa konstanta. Akan tetapi tidak menutup kemungkinan batas-batas itu berupa variabel juga. Setelah berhasil mengintegralkan batas tadi kita substitusikan. Pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

 

Contoh 1

integral tentu

Jawab :

integral tentu 1

. = 53 — 3.52 — (23 — 3.22)

. = 125 — 75 — (8 — 12) = 54

 

Contoh 2 :

integral tentu 2

Jawab :

integral tentu 2a

. = — cos π/2 + cos 0

. = 0 + 1 = 1

 

 

Sifat-sifat integral tentu

sifat integral tentu

 

contoh 3 :

integral tentu 3

Jawab :

integral tentu 3a

Jadi

integral tentu 3b

. = 10 + 4 = 14

 

Contoh 4 :

integral tentu 4

Jawab :

misal y = sin x

maka

x = 0 → y = 0

x = π/2 → y = 1

dy/dx = cos x maka dx = dy/cos x

integral tentu 4a

 

Contoh 5 :

integral tentu 5

Jawab :

integral tentu 5a

Dengan demikian diperoleh

integral tentu 5b

. = 26 + 19 + 36 — 1 = 80

 

Contoh 6 :

integral tentu 6

Jawab :

integral tentu 6a

Langkah selanjutnya adalah kita misalkan

y = 4x — 3

x = 1 → y = 1

x = 3 → y = 9

integral tentu 6b

 

Integral Parsial

Parsial berarti bagian, jadi integral parsial adalah integral yang kita kerjakan sebagian demi sebagian

y = uv

y’ = u’v + uv’

dy/dx = (du/dx)v + u (dv/dx)

dy = vdu + udv

∫dy = ∫vdu + ∫udv

y = ∫vdu + ∫udv

uv = ∫vdu + ∫udv

∫udv = uv — ∫vdu

 

Contoh 1 :

∫x cos x dx = …

Jawab :

u = x → du = dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx

∫x cos x dx =x sin x + cos x + c

 

Contoh 2 :

∫x2 sin x dx = …

Jawab :

u = x2 → du = 2x dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x2 sin x dx = x2 (-cos x) — ∫- cos x . 2x dx

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2∫x cos x dx

dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + c

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + c

 

Contoh 3 :

∫x3 cos x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x3 cos x dx = x3 sin x — ∫sin x . 3x2 dx

∫x3 cos x dx = x3 sin x — 3∫x2 sin x dx

dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh

∫x3 cos x dx = x3 sin x — 3(-x2 cos x + 2x sin x + 2cos x) + c

∫x3 cos x dx = x3 sin x + 3x2 cos x — 6x sin x — 6cos x + c

 

Contoh 4 :

∫x3 sin x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x3 sin x dx = x3 (-cos x) — ∫(-cosx) 3x2 dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3∫ x2 cosx dx ……………………..(1)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x2 → du = 2x dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x2 cos x dx = x2 sin x — ∫sin x . 2x dx

∫x2 cos x dx = x2 sin x — 2∫x sin x dx ……………………….(2)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x → du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx

∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)

Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

∫x2 cos x dx = x2 sin x — 2(-xcos x +∫cos x dx)

∫x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx

Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3(x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6sin x + c