Super Matematika

Integral tertentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas yang diberikan biasanya berupa konstanta. Akan tetapi tidak menutup kemungkinan batas-batas itu berupa variabel juga. Setelah berhasil mengintegralkan batas tadi kita substitusikan. Pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

 

Contoh 1

Jawab :

. = 5³ — 3.5² — (2³ — 3.2²)

. = 125 — 75 — (8 — 12) = 54

 

Contoh 2 :

Jawab :

. = — cos π/2 + cos 0

. = 0 + 1 = 1

 

 

Sifat-sifat integral tentu

 

contoh 3 :

Jawab :

Jadi

. = 10 + 4 = 14

 

Contoh 4 :

Jawab :

misal y = sin x

maka

x = 0 → y = 0

x = π/2 → y = 1

dy/dx = cos x maka dx = dy/cos x

 

Contoh 5 :

Jawab :

Dengan demikian diperoleh

. = 26 + 19 + 36 — 1 = 80

 

Contoh 6 :

Jawab :

Langkah selanjutnya adalah kita misalkan

y = 4x — 3

x = 1 → y = 1

x = 3 → y = 9

 

Parsial berarti bagian, jadi integral parsial adalah integral yang kita kerjakan sebagian demi sebagian

y = uv

y’ = u’v + uv’

dy/dx = (du/dx)v + u (dv/dx)

dy = vdu + udv

∫dy = ∫vdu + ∫udv

y = ∫vdu + ∫udv

uv = ∫vdu + ∫udv

∫udv = uv — ∫vdu

 

Contoh 1 :

∫x cos x dx = …

Jawab :

u = x → du = dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx

∫x cos x dx =x sin x + cos x + c

 

Contoh 2 :

∫x² sin x dx = …

Jawab :

u = x² → du = 2x dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x² sin x dx = x² (-cos x) — ∫- cos x . 2x dx

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2∫x cos x dx

dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2(x sin x + cos x) + c

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2x sin x + 2cos x + c

 

Contoh 3 :

∫x³ cos x dx = …

Jawab :

u = x³ → du = 3x² dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x³ cos x dx = x³ sin x — ∫sin x . 3x² dx

∫x³ cos x dx = x³ sin x — 3∫x² sin x dx

dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh

∫x³ cos x dx = x³ sin x — 3(-x² cos x + 2x sin x + 2cos x) + c

∫x³ cos x dx = x³ sin x + 3x² cos x — 6x sin x — 6cos x + c

 

Contoh 4 :

∫x³ sin x dx = …

Jawab :

u = x³ → du = 3x² dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x³ sin x dx = x³ (-cos x) — ∫(-cosx) 3x² dx

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3∫ x² cosx dx ……………………..(1)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x² → du = 2x dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x² cos x dx = x² sin x — ∫sin x . 2x dx

∫x² cos x dx = x² sin x — 2∫x sin x dx ……………………….(2)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x → du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx

∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)

Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

∫x² cos x dx = x² sin x — 2(-xcos x +∫cos x dx)

∫x² cos x dx = x² sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx

Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3(x² sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x + 6sin x + c