Super Matematika

Berikut ini kami sajikan rumus-rumus integral

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. n ≠ -1

4.

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec² x = tan x + c

8. ∫ csc² x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ e^x dx = e^x +c

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. ∫tan x dx = — ln |cos x| + c

23. ∫cot x dx = ln |sin x | + c

24. ∫sec x dx = ln |sec x + tan x| + c

25. ∫csc x dx = -ln |csc x + cot x| + c

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34. ∫ ln x dx = x ln x — x + c

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri

Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ sec² x = tan x + c

∫ csc² x = -cot x + c

∫sec x tan x = sec x + c

∫ csc x cot x = — csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c

∫ sec² (ax + b) = 1/a tan (ax + b) + c

∫ csc² (ax + b) = — 1/a cot (ax + b) + c

∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c

∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = — 1/a csc (ax + b) + c

 

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….

Jawab :

∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x — 1/5 cos 5x + c

 

Contoh 2 :

∫(x — 1) sin (x² — 2x + 5) dx = …

Jawab :

misal

y = x² — 2x + 5

dy/dx = 2x — 2

dx = dy/(2x — 2) = 1/2 dy/(x — 1)

Jadi,

∫(x — 1) sin (x² — 2x + 5) dx

= ∫(x — 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)

= ∫ 1/2 sin y dy

= — 1/2 cos y + c

= — 1/2 cos (x² — 2x + 5) + c

 

Contoh 3 :

∫ (x² — 4x) cos (x³ — 6x² + 7) dx = …

Jawab :

misal y = x³ — 6x² + 7

maka dy/dx = 3x² — 12x

sehingga dx = dy/(3x² — 12x)

atau dx = 1/3 dy/(x² — 4x)

Jadi

∫ (x² — 4x) cos (x³ — 6x² + 7) dx

= ∫ (x² — 4x) cos y 1/3 dy/(x² — 4x)

= 1/3 ∫ cos y dy

= 1/3 sin y + c

= 1/3 sin (x³ — 6x² + 7) + c

 

Sebelum kita lanjutan ke contoh berikutnya, ungat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A — B)

2 cos A sin B = sin (A + B) — sin (A — B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A — B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) — cos (A — B)

 

Contoh 4 :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….

Jawab :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx

= ∫ cos 9x + cos 5x dx

= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

 

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

= 1/2 ( — 1/8 cos 8x — 1/2 cos 2x) + c

= — 1/16 cos 8x — 1/4 cos 2x + c

 

Contoh 6 :

∫ sin 6x sin 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 6x sin x dx

= — 1/2 ∫ (cos 7x — cos 5x) dx

= — 1/2 ( 1/7 sin 7x — 1/5 sin 5x) + c

= — 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

 

Ingat juga rumus-rumus berikut

sin² x = 1/2 — 1/2 cos 2x

cos² x = 1/2 + 1/2 cos 2x

 

Contoh 7 :

∫ cos² x dx = …

Jawab :

∫ cos² x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 8 :

∫sin² x dx = …

Jawab :

∫sin² x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x — 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 9 :

∫ cos² 3x dx

Jawab :

∫ cos² 3x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx

= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

 

Contoh 10 :

∫sin² 7x dx

Jawab :

∫ sin² 7x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 14x) dx

= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

 

Contoh 11 :

∫ cos⁴ x dx

Jawab :

∫ cos⁴ x dx

=∫ (cos² x)² dx

= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)² dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

 

Contoh 12 :

∫sin⁴ x dx = …

Jawab :

∫sin⁴ x dx

=∫ (sin² x)² dx

= ∫ (1/2 — 1/2 cos 2x)² dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 — 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x — 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c