Super Matematika

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel

Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda determinan

4. Metoda matriks

5. Metoda operasi baris elementer

 

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y — z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20_____ +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____ _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y — 3z = 3

2x — y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

Jawab :

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y — 3z = 3 …………………………….(1)

2x — y + 4z = 21 …………………………….(2)

5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y — 3z = 3 |1| → 3x + 4y — 3z = 3

2x — y + 4z = 21 |4| → 8x — 4y+16z = 84 +

. 11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x — y + 4z = 21 |2| → 4x — 2y + 8z = 42 +

. 9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968

11x + 13z = 87 |9| 99x + 117z=783 _

. 37z = 185

. z = 5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87

11x + 13.5 = 87

11x + 65 = 87

11x = 22

x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

5x +2y +6z = 46

5.2 +2y +6.5 = 46

10 + 2y + 30 = 46

2y = 6

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

 

Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan

2x + 5y + 4z = 28

3x — 2y + 5z = 19

6x + 3y — 2z = 4

adalah …

Jawab :

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)

3x — 2y + 5z = 19……………………………………….(2)

6x + 3y — 2z = 4…………………………………………(3)

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28

4z = 28 — 2x — 5y

………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x — 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x — 8y + 140 — 10x — 25y = 76

2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y — 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka

24x + 12y — 56 + 4x + 10y = 16

28x + 22y = 72

14x + 11y = 36

11y = 36 — 14x

…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga

2x -33y = -64

2x — 108 + 42x = -64

44x = 44

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}

Sistem persamaan linear 2 variabel, merupakan himpunan 2 persamaan dengan variabel sebanyak 2 buah. Sistem persamaan ini memiliki beberapa cara menyelesaiakan, antara lain adalah

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda grafik

4. Metoda determinan

5. Metoda matriks

 

Metoda eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja ke contoh soal ya

 

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari

2x + y = 10

x — y = -1

Jawab :

Untuk mengeliminasi, kita jumlahkan agar variabel y langsung hilang

2x + y = 10

x — y = -1 ___ +

3x = 9 maka x = 3

2x + y = 10

6 + y = 10

y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(3, 4)}

 

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 2y = 17

4x — 3y = 17

Jawab :

Koefisien x pada persamaan pertama dengan kedua tidak sama, demikian juga koefisien y. Dengan demikian kita harus menyamakan. Sekarang kita lakukan agar koefisien y sama, yaitu dengan mengalikan 3 pada persamaan pertama dan mengalikan 2 pada persamaan kedua, sehingga diperoleh

9x + 6y = 51

8x — 6y = 34 ___+

17x = 85

x = 5

 

3x + 2y = 17

3.5 + 2y = 17

15 + 2y = 17

2y = 2

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(5, 1)}

 

Contoh 3 :

Tentukan himpunan penyelesaiana dari

5x + 2y = 36

2x + 7y = 2

Jawab :

Untuk menyamakan koefisien x maka persamaan (1) dikali 2, sedangkan persamaan (2) dilkali 5

10x + 4y = 72

10x + 35y = 10 ___ _

-31y = 62

y = -2

 

2x + 7y = 2

2x + 7(-2) = 2

2x — 14 = 2

2x = 16

x = 8

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(8, -2)}

 

Metoda subtitusi

Subtitusi artinya mengganti. Jadi, salah satu variabel pada persamaan kita ganti, misalnya y kita ganti dengan x

 

Contoh 4 :

Himpunan penyelesian dari sistem persamaan

3x + y = 6

4x + 3y = 13

adalah …

Jawab :

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut :

3x + y = 6

y = 6 — 3x

Hasil ini kita subtitusi ke persamaan (2)

4x + 3y = 13

4x + 3(6 — 3x) = 13

4x + 18 — 9x = 13

-5x = -5

x = 1

y = 6 — 3x = 6 — 3.1 = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3)}

 

Contoh 5 :

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

5x + 4y = 22

3x + 7y = 27

adalah …

Jawab :

Persamaan (2) bisa kita ubah sebagai berikut

3x + 7y = 27

7y = 27 — 3x

Selanjutnya hasil ini kita subtitusikan ke persamaan (1)

5x + 4y = 22

Jika kedua ruas dikali 7 maka diperoleh

35x + 108 — 12x = 154

23x = 46

x = 2

maka

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}

 

Contoh 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

5x + 8y = 41

3x — 7y = 1

Jawab :

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut :

5x + 8y = 41

5x = 41 — 8y

Selanjutnya nilai x ini kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x — 7y = 1

Jika kedua ruas dikali 5 maka

123 — 24y — 35y = 5

-59y= 5-123 = -118

y = 2

Hasil ini kita subtitusi ke

 

Metoda Determinan

Determinan merupakan suatu nilai pada matriks persegi. Untuk matriks ordo 2×2 yang elemennya a, b, c, dan d determinannya adalah

Jika kita memiliki sistem persamaan

ax + by = e

cx + dy = f

maka penyelesaiannya adalah

Sekarang marilah kita lihat contoh berikut

Contoh soal 7 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x — 7y = 29

4x — y = 22

Jawab

maka nilai x adalah

dan nilai y adalah

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, -2)}