Proses Pembagian Salah, Hasil Benar

Dalam pembagian, seringkali kita melakukan pencoretan. Banyak sekali kesalahan sering terjadi dalam pencoretan ini. Terkadang siswa merasa benar dalam mencoret, walaupun sebenarnya dia melakukan kesalahan. Siswa tidak merasa melakukan kesalahan, karena hasil yang dia dapat masih benar. Untuk kasus yang sederhana, biasanya dia menyadari, tetapi ketika berhadapan dengan masalah yang rumit, biasanya dia menjadi tidak sadar.

 

Sering juga proses pencoretan menyebabkan hasil yang lucu. Berikut ini saya tampilkan hal-hal yang lucu akibat pencoretan (pencoretan salah, tetapi hasilnya benar)

pencoretan-pecahan-yang-salah

Bentuk di atas harusnya bisa dibetulkan sebagai berikut

pembetulan-pencoretan-yang-salah

Ada juga yang prosesnya salah dan hasilnya juga salah sehingga efeknya menjadi sangat lucu. Contohnya sebagai berikut

pembagian-salah-kaprah

 

He he he ….jadi lucu-lucu bukan ?

Mudah-mudahan setelah ini anda mulai insyaf dan berhati-hati dalam melakukan pencoretan

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

 

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax3 + bx2 + cx + d = 0 dengan a tidak boleh nol. Persamaan ini akan memiliki 3 akar, yaitu x1, x2, dan x3. Ketiga akar ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

 

x1 + x2 + x3 = — b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = — d/a

 

Sifat-sifat ini yang sering diberi nama teorema vieta

Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

 

Contoh Soal 1

Persamaan 2x3 — 8x2 + 6x — 9 = 0 memiliki akar-akar p, q dan r. Tentukan nilai dari

a. p2qr + pq2r + pqr2

b.p2q2r + p2qr2 + pq2r2

c.p2 + q2 + r2

d.

e.

f.p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3

g.p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3

 

Jawab :

a = 2 b = — 8 c = 6 d = — 9

p + q + r = — b/a = 8/2 = 4

pq + pr + qr = c/a = 6/2 = 3

pqr = –d/a = 9/2

 

poin a

p2qr + pq2r + pqr2

= pqr(p + q + r) = 9/2.(4) = 18

 

poin b

p2q2r + p2qr2 + pq2r2

= pqr(pq + pr + qr)

= (9/2)(3) = 27/2 = 13,5

 

poin c

p2 + q2 + r2

=(p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr)

= 42 — 2(3) = 16 — 6 = 10

 

poin d

 

poin e

 

poin f

p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3 = p2q2r2 (p + q + r)

. = (pqr)2 (p + q + r) = (9/2)2 (4) = 81

 

poin g

p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3 = p2q2r2 (pq + pr + qr)

. = (pqr)2 (pq + pr + qr) = (9/2)2 (3) = 243/4

 

Contoh soal 2 :

Akar-akar persamaan kubik x3 — 6x2 + 7x + 3 = 0 adalah k, m, dan n. Tentukan nilai dari (k — 2)(m — 2)(n — 2) = …

 

Jawab :

k + m + n = –b/a = 6

km + kn + mn = c/a = 7

kmn = –d/a = –3

 

(k — 2)(m — 2)(n — 2)

= (k — 2)(mn — 2m — 2n + 4)

= (k — 2)(mn — 2(m + n) + 4)

= kmn — 2k(m + n) + 4k — 2mn + 4(m + n) — 8

= kmn — 2km –2kn + 4k — 2mn + 4m + 4n — 8

= kmn — 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) — 8

= –3 — 2(7) + 4(6) — 8

= –3 — 14 + 24 — 8 = –1

 

Contoh Soal 3 :

Salah satu akar persamaan x3 — 8x2 + 2x + k = 0 adalah 3. Jumlah kedua akar yang lain adalah ….

Jawab :

x1 = 3 maka x2 + x3 = ….

 

x1 + x2 + x3 =  — b/a = 8

3 + x2 + x3 = 8

x2 + x3 = 5

 

Contoh Soal 4 :

Agar persamaan x3 — x2  — 16x + 2k — 30 = 0 memiliki akar kembar dan bernilai bulat maka nilai k sama dengan

 

Jawab :

Karena kembar, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m x2 = n dan x3 = n

x1 + x2 + x3 = –b/a = 1

m + n + n = 1

m = 1 — 2n

 

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –16

mn + mn + n2 = –16

2mn + n2 = –16

2(1 — 2n)n + n2 = –16

2n — 4n2 + n2 = –16

–3n2 + 2n + 16 = 0

3n2 — 2n — 16 = 0

(n + 2)(3n — 8) = 0

n = –2 atau n = 8/3

karena akar bernilai bulat maka n = –2

m = 1 — 2n = 1 + 4 = 5

 

x1.x2.x3 = –d/a = 2k — 30

mnn = –(2k — 30)

5.( –2)( –2) = –2k + 30

20 = –2k + 30

2k = 10

k = 5

 

Contoh Soal 5 :

Agar akar-akar persamaan kubik x3 — 12 x2 + (5t + 4)x — 48 = 0 membentuk daret aritmetika maka nilai t adalah ….

 

Jawab :

Karena deret aritmetika, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m x2 = m + n x3 = m + 2n

x1 + x2 + x3 =  — b/a = 12

m + m + n + m + 2n = 12

3m + 3n = 12

m + n = 4

m = 4 — n

 

x1x2x3 = –d/a = 48

m(m+n)(m + 2n) = 48

(4 — n)( 4 — n + n)( 4 — n + 2n) = 48

(4 — n).4.( 4 + n) = 48

(4 — n)(4 + n) = 12

16 — n2 = 12

16 — 12 = n2

n2 = 4

n = 2 atau n = –2

 

Untuk n = 2 maka

m = 4 — n = 4 — 2 = 2

x1 = m = 2 x2 = m + n = 0 x3 = m + 2n = –2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

2.0 + 2(–2) + 0.( –2) = 5t + 4

–4 = 5t + 4

5t = –8 maka t = –1,6

 

Untuk n = –2

m = 4 — n = 4 + 2 = 6

x1 = m = 6 x2 = m + n = 4 x3 = m + 2n = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

6.4 + 6.2 + 4.2 = 5t + 4

24 + 12 + 8 = 5t + 4

44 = 5t + 4

40 = 5t

t = 8

 

Contoh Soal 6 :

Agar akar-akar persamaan kubik x3 — 21x2 + (h + 3)x — 216 = 0 membentuk daret geometri maka nilai h adalah ….

 

Jawab :

Karena membentuk deret geometri maka bisa dimisalkan

x1 = p x2 = pr x3 = pr2

x1.x2.x3 = –d/a = 216

p.pr.pr2 = 216

p3r3 = 216

(pr)3 = 63

pr = 6

p = 6/r

 

x1 + x2 + x3 = –b/a = 21

p + pr + pr2 = 21

6/r + (6/r)r + (6/r)r2 = 21

6/r + 6 + 6r = 21

Jika kedua ruas dikali r maka

6 + 6r + 6r2 = 21r

6r2 — 15r + 6 = 0

Jika kedua ruas dibagi 3 mala

2r2 — 5r + 2 = 0

(r — 2 ) (2r — 1) = 0

r = 2 atau r = ½

 

Untuk r = 2 maka p = 6/r = 3

x1 = p = 3 x2 = pr = 6 x3 = pr2 = 12

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

3.6 + 3.12 + 6.12 = h + 3

18 + 36 + 72 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

Untuk r = ½ maka p = 6/(½) = 12

x1 = p = 12 x2 = pr = 6 x3 = pr2 = 3

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

12.6 + 12.3 + 6.3 = h + 3

72 + 36 + 18 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

 

Contoh Soal 7 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x3 — 6x2 + 5px — 2 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akar persamaan 2x3 — 6x2 + 2px + 9 = 0. Maka nilai m sama dengan …

 

Jawab :

Misalkan akar-akar persamaan 3x3 — 6x2 + 10x — p = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 = — b/a = 6/3 = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5p/3

x1x2x3 = — d/a = 2/3

Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah

 

Misalkan akar-akar persamaan 2x3 — 6x2 + 2px + 9 = 0 adalah p, q, r

p + q + r = – b/a = 6/2 = 3

pq + pr + qr = c/a = 2p/2 = p

pqr = –d/a = –9/2

Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr) = 9 — 2p

 

Jumlah kebalikan akar = jumlah kuadrat akar

5p = 18 — 4p

9p = 18

p = 2

 

Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan x3 — 5x2 — 4x — 3 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka nilai dari

a.x13 + x23 + x33

b.x14 + x24 + x34

 

Jawab :

x1 + x2 + x3 = — b/a = 5

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –4

x1x2x3 = — d/a = 3

x12 + x22 + x32 = (x1+x2+x3)2 — 2(x1x2+x1x3+x2x3) = 25 + 8 = 33

 

Persamaan polinom bisa kita ubah sebagai berikut

x3 = 5x2 + 4x + 3

nilai x ini bisa kita ganti dengan x1, x2, dan x3, sehingga

x13 = 5x12 + 4x1 + 3

x23 = 5x22 + 4x2 + 3

x33 = 5x32 + 4x3 + 3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x13 + x23 + x33 = 5(x12 + x22 + x32) + 4(x1 + x2 + x3 ) + 9

= 5(33) + 4(5) + 9 = 165 + 20 + 9 = 194

 

Sekarang kita tentukan nilai x14 + x24 + x34

x3 = 5x2 + 4x + 3

Jika dikali dengan x maka

x4 = 5x3 + 4x2 + 3x

Jika x kita ganti dengan x1, x2, dan x3, maka

x14 = 5x13 + 4x12 + 3x1

x24 = 5x23 + 4x22 + 3x2

x34 = 5x33 + 4x32 + 3x3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x14 + x24 + x34 = 5(x13 + x23 + x33) + 4(x12 + x22 + x32) + 3(x1 + x2 + x3)

= 5(194) + 4(33) + 3(5)

= 970 + 132 + 15 = 1117

 

Contoh soal 8

Persamaan polinom x3 –x2 + x — 1 = 0 adalah p, q, dan r, maka nilai dari p102 + q102 + r102 = …

 

Jawab :

p + q + r = – b/a = 1

pq + pr + qr = c/a = 1

pqr = –d/a = 1

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr) = 1 — 2 = –1

 

Persamaan polinom bisa kita tulis menjadi

x3 = x2 — x + 1 ………………………………………..(1)

Jika persamaan (1) dikali dengan x maka

x4 = x3 — x2 + x ……………………………………..(2)

subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka

x4 = (x2 — x + 1) — x2 + x

x4 = 1

maka

x100 = (x4)25 = 125 = 1

x100 = 1

Jika kedua ruas dikali dengan x2 maka

x102 = x2 ……………………………………………………….(3)

Nilai x pada persamaan (3) bisa diganti dengan akar-akarnya, yaitu p, q, dan r sehingga

p102 = p2

q102 = q2

r102 = r2

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

P102 + q102 + r102 = p2 + q2 + r2 = –1