Super Matematika

Dalam pembagian, seringkali kita melakukan pencoretan. Banyak sekali kesalahan sering terjadi dalam pencoretan ini. Terkadang siswa merasa benar dalam mencoret, walaupun sebenarnya dia melakukan kesalahan. Siswa tidak merasa melakukan kesalahan, karena hasil yang dia dapat masih benar. Untuk kasus yang sederhana, biasanya dia menyadari, tetapi ketika berhadapan dengan masalah yang rumit, biasanya dia menjadi tidak sadar.

 

Sering juga proses pencoretan menyebabkan hasil yang lucu. Berikut ini saya tampilkan hal-hal yang lucu akibat pencoretan (pencoretan salah, tetapi hasilnya benar)

Bentuk di atas harusnya bisa dibetulkan sebagai berikut

Ada juga yang prosesnya salah dan hasilnya juga salah sehingga efeknya menjadi sangat lucu. Contohnya sebagai berikut

 

He he he ….jadi lucu-lucu bukan ?

Mudah-mudahan setelah ini anda mulai insyaf dan berhati-hati dalam melakukan pencoretan

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

 

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax³ + bx² + cx + d = 0 dengan a tidak boleh nol. Persamaan ini akan memiliki 3 akar, yaitu x₁, x₂, dan x₃. Ketiga akar ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

 

x₁ + x₂ + x₃ = — b/a

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a

x₁x₂x₃ = — d/a

 

Sifat-sifat ini yang sering diberi nama teorema vieta

Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

 

Contoh Soal 1

Persamaan 2x³ — 8x² + 6x — 9 = 0 memiliki akar-akar p, q dan r. Tentukan nilai dari

a. p²qr + pq²r + pqr²

b.p²q²r + p²qr² + pq²r²

c.p² + q² + r²

d.

e.

f.p³q²r² + p²q³r² + p²q²r³

g.p³q³r² + p³q²r³ + p²q³r³

 

Jawab :

a = 2 b = — 8 c = 6 d = — 9

p + q + r = — b/a = 8/2 = 4

pq + pr + qr = c/a = 6/2 = 3

pqr = –d/a = 9/2

 

poin a

p²qr + pq²r + pqr²

= pqr(p + q + r) = 9/2.(4) = 18

 

poin b

p²q²r + p²qr² + pq²r²

= pqr(pq + pr + qr)

= (9/2)(3) = 27/2 = 13,5

 

poin c

p² + q² + r²

=(p + q + r)² — 2(pq + pr + qr)

= 4² — 2(3) = 16 — 6 = 10

 

poin d

 

poin e

 

poin f

p³q²r² + p²q³r² + p²q²r³ = p²q²r² (p + q + r)

. = (pqr)² (p + q + r) = (9/2)² (4) = 81

 

poin g

p³q³r² + p³q²r³ + p²q³r³ = p²q²r² (pq + pr + qr)

. = (pqr)² (pq + pr + qr) = (9/2)² (3) = 243/4

 

Contoh soal 2 :

Akar-akar persamaan kubik x³ — 6x² + 7x + 3 = 0 adalah k, m, dan n. Tentukan nilai dari (k — 2)(m — 2)(n — 2) = …

 

Jawab :

k + m + n = –b/a = 6

km + kn + mn = c/a = 7

kmn = –d/a = –3

 

(k — 2)(m — 2)(n — 2)

= (k — 2)(mn — 2m — 2n + 4)

= (k — 2)(mn — 2(m + n) + 4)

= kmn — 2k(m + n) + 4k — 2mn + 4(m + n) — 8

= kmn — 2km –2kn + 4k — 2mn + 4m + 4n — 8

= kmn — 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) — 8

= –3 — 2(7) + 4(6) — 8

= –3 — 14 + 24 — 8 = –1

 

Contoh Soal 3 :

Salah satu akar persamaan x³ — 8x² + 2x + k = 0 adalah 3. Jumlah kedua akar yang lain adalah ….

Jawab :

x₁ = 3 maka x₂ + x₃ = ….

 

x₁ + x₂ + x₃ =  — b/a = 8

3 + x₂ + x₃ = 8

x₂ + x₃ = 5

 

Contoh Soal 4 :

Agar persamaan x³ — x²  — 16x + 2k — 30 = 0 memiliki akar kembar dan bernilai bulat maka nilai k sama dengan

 

Jawab :

Karena kembar, maka akar-akar bisa dimisalkan

x₁ = m x₂ = n dan x₃ = n

x₁ + x₂ + x₃ = –b/a = 1

m + n + n = 1

m = 1 — 2n

 

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = –16

mn + mn + n² = –16

2mn + n² = –16

2(1 — 2n)n + n² = –16

2n — 4n² + n² = –16

–3n² + 2n + 16 = 0

3n² — 2n — 16 = 0

(n + 2)(3n — 8) = 0

n = –2 atau n = 8/3

karena akar bernilai bulat maka n = –2

m = 1 — 2n = 1 + 4 = 5

 

x₁.x₂.x₃ = –d/a = 2k — 30

mnn = –(2k — 30)

5.( –2)( –2) = –2k + 30

20 = –2k + 30

2k = 10

k = 5

 

Contoh Soal 5 :

Agar akar-akar persamaan kubik x³ — 12 x² + (5t + 4)x — 48 = 0 membentuk daret aritmetika maka nilai t adalah ….

 

Jawab :

Karena deret aritmetika, maka akar-akar bisa dimisalkan

x₁ = m x₂ = m + n x₃ = m + 2n

x₁ + x₂ + x₃ =  — b/a = 12

m + m + n + m + 2n = 12

3m + 3n = 12

m + n = 4

m = 4 — n

 

x₁x₂x₃ = –d/a = 48

m(m+n)(m + 2n) = 48

(4 — n)( 4 — n + n)( 4 — n + 2n) = 48

(4 — n).4.( 4 + n) = 48

(4 — n)(4 + n) = 12

16 — n² = 12

16 — 12 = n²

n² = 4

n = 2 atau n = –2

 

Untuk n = 2 maka

m = 4 — n = 4 — 2 = 2

x₁ = m = 2 x₂ = m + n = 0 x₃ = m + 2n = –2

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = 5t + 4

2.0 + 2(–2) + 0.( –2) = 5t + 4

–4 = 5t + 4

5t = –8 maka t = –1,6

 

Untuk n = –2

m = 4 — n = 4 + 2 = 6

x₁ = m = 6 x₂ = m + n = 4 x₃ = m + 2n = 2

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = 5t + 4

6.4 + 6.2 + 4.2 = 5t + 4

24 + 12 + 8 = 5t + 4

44 = 5t + 4

40 = 5t

t = 8

 

Contoh Soal 6 :

Agar akar-akar persamaan kubik x³ — 21x² + (h + 3)x — 216 = 0 membentuk daret geometri maka nilai h adalah ….

 

Jawab :

Karena membentuk deret geometri maka bisa dimisalkan

x₁ = p x₂ = pr x₃ = pr²

x₁.x₂.x₃ = –d/a = 216

p.pr.pr² = 216

p³r³ = 216

(pr)³ = 6³

pr = 6

p = 6/r

 

x₁ + x₂ + x₃ = –b/a = 21

p + pr + pr² = 21

6/r + (6/r)r + (6/r)r² = 21

6/r + 6 + 6r = 21

Jika kedua ruas dikali r maka

6 + 6r + 6r² = 21r

6r² — 15r + 6 = 0

Jika kedua ruas dibagi 3 mala

2r² — 5r + 2 = 0

(r — 2 ) (2r — 1) = 0

r = 2 atau r = ½

 

Untuk r = 2 maka p = 6/r = 3

x₁ = p = 3 x₂ = pr = 6 x₃ = pr² = 12

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = h + 3

3.6 + 3.12 + 6.12 = h + 3

18 + 36 + 72 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

Untuk r = ½ maka p = 6/(½) = 12

x₁ = p = 12 x₂ = pr = 6 x₃ = pr² = 3

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = h + 3

12.6 + 12.3 + 6.3 = h + 3

72 + 36 + 18 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

 

Contoh Soal 7 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x³ — 6x² + 5px — 2 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akar persamaan 2x³ — 6x² + 2px + 9 = 0. Maka nilai m sama dengan …

 

Jawab :

Misalkan akar-akar persamaan 3x³ — 6x² + 10x — p = 0 adalah x₁, x₂, dan x₃ maka

x₁ + x₂ + x₃ = — b/a = 6/3 = 2

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = 5p/3

x₁x₂x₃ = — d/a = 2/3

Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah

 

Misalkan akar-akar persamaan 2x³ — 6x² + 2px + 9 = 0 adalah p, q, r

p + q + r = – b/a = 6/2 = 3

pq + pr + qr = c/a = 2p/2 = p

pqr = –d/a = –9/2

Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah

p² + q² + r² = (p + q + r)² — 2(pq + pr + qr) = 9 — 2p

 

Jumlah kebalikan akar = jumlah kuadrat akar

5p = 18 — 4p

9p = 18

p = 2

 

Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan x³ — 5x² — 4x — 3 = 0 adalah x₁, x₂, dan x₃ maka nilai dari

a.x₁³ + x₂³ + x₃³

b.x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴

 

Jawab :

x₁ + x₂ + x₃ = — b/a = 5

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a = –4

x₁x₂x₃ = — d/a = 3

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁+x₂+x₃)² — 2(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃) = 25 + 8 = 33

 

Persamaan polinom bisa kita ubah sebagai berikut

x³ = 5x² + 4x + 3

nilai x ini bisa kita ganti dengan x₁, x₂, dan x₃, sehingga

x₁³ = 5x₁² + 4x₁ + 3

x₂³ = 5x₂² + 4x₂ + 3

x₃³ = 5x₃² + 4x₃ + 3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x₁³ + x₂³ + x₃³ = 5(x₁² + x₂² + x₃²) + 4(x₁ + x₂ + x₃ ) + 9

= 5(33) + 4(5) + 9 = 165 + 20 + 9 = 194

 

Sekarang kita tentukan nilai x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴

x³ = 5x² + 4x + 3

Jika dikali dengan x maka

x⁴ = 5x³ + 4x² + 3x

Jika x kita ganti dengan x₁, x₂, dan x₃, maka

x₁⁴ = 5x₁³ + 4x₁² + 3x₁

x₂⁴ = 5x₂³ + 4x₂² + 3x₂

x₃⁴ = 5x₃³ + 4x₃² + 3x₃

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ = 5(x₁³ + x₂³ + x₃³) + 4(x₁² + x₂² + x₃²) + 3(x₁ + x₂ + x₃)

= 5(194) + 4(33) + 3(5)

= 970 + 132 + 15 = 1117

 

Contoh soal 8

Persamaan polinom x³ –x² + x — 1 = 0 adalah p, q, dan r, maka nilai dari p¹⁰² + q¹⁰² + r¹⁰² = …

 

Jawab :

p + q + r = – b/a = 1

pq + pr + qr = c/a = 1

pqr = –d/a = 1

p² + q² + r² = (p + q + r)² — 2(pq + pr + qr) = 1 — 2 = –1

 

Persamaan polinom bisa kita tulis menjadi

x³ = x² — x + 1 ………………………………………..(1)

Jika persamaan (1) dikali dengan x maka

x⁴ = x³ — x² + x ……………………………………..(2)

subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka

x⁴ = (x² — x + 1) — x² + x

x⁴ = 1

maka

x¹⁰⁰ = (x⁴)²⁵ = 1²⁵ = 1

x¹⁰⁰ = 1

Jika kedua ruas dikali dengan x² maka

x¹⁰² = x² ……………………………………………………….(3)

Nilai x pada persamaan (3) bisa diganti dengan akar-akarnya, yaitu p, q, dan r sehingga

p¹⁰² = p²

q¹⁰² = q²

r¹⁰² = r²

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

P¹⁰² + q¹⁰² + r¹⁰² = p² + q² + r² = –1