Hubungan antara garis dan lingkaran ada 3 macam
1. Berpotongan di dua titik =====> D > 0
2. Bersinggungan ==========> D = 0
3. Tidak Berpotongan ========> D < 0
dengan D = b2 — 4ac , disebut diskriminan
Pada bagian ini kita akan fokus membahas saat lingkaran dan garis saling bersinggungan, jadi D = 0
Contoh soal 1 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 80 yang bergradien 2.
Jawab :
Gradien biasa ditulis dengan m, berarti m = 2
Persamaan umum garis adalah y = mx + n maka y = 2x + n
Persamaan garis ini kita subtitusi ke lingkaran
x2 + y2 = 80
x2 + (2x + n)2 = 80
x2 + 4x2 + 4nx + n‑ = 80
5x2 + 4nx + n2 — 80 = 0
Syarat bersinggungan :
D = 0
b2 — 4ac = 0
(4n)2 — 4.5(n2 — 80) = 0
16n2 — 20n2 + 1600 = 0
– 4n2 + 1600 = 0
n2 — 400 = 0
(n + 20)(n — 20) = 0
n = — 20 atau n = 20
Jadi persamaan garis singgungnya
y = 2x — 20 atau y = 2x + 20
Contoh soal 2 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 98 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif
Jawab :
Jika sudut dengan sumbu x positif adalah 45o maka gradien bisa diperoleh dari
m = tan 45o = 1
Persamaan garis :
y = mx + n
y = x + n
Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran
x2 + y2 = 98
x2 + (x + n)2 = 98
x2 + x2 + 2nx + n2 = 98
2x2 + 2nx + n2 — 98 = 0
Karena bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(2n)2 — 4.2.(n2 — 98) = 0
4n2 — 8n2 + 784 = 0
– 4n2 + 784 = 0
n2 — 196 = 0
(n + 14)(n — 14) = 0
n = –14 atau n = 14
Jadi persamaan garis singgungnya
y = x — 14 atau y = x + 14
Contoh soal 3 :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 90 yang sejajar dengan garis 6x — 2y = 5 adalah …
Jawab :
Dua garis akan sejajar jika gradiennya sama
Untuk mencari gradien garis 6x — 2y + 5 = 0 makagaris kita ubah menjadi
6x + 5 = 2y
y = (6x + 5)/2
y = 3x + 5/2
sehingga m = 3
Karena garis sinngung sejajar dengan garis ini maka gradien yang kita pakai di garis singgung adalah
m = 3
maka persamaan garisnya
y = 3x + n
Persamaan garis ini kita subtitusikan ke lingkaran
x2 + (3x + n)2 = 90
x2 + 9x2 +6nx + n2 — 90 = 0
10x2 + 6nx + n2 — 90 = 0
Karena bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(6n)2 — 4.10(n2 — 90) = 0
36n2 — 40n2 + 3600 = 0
– 4n2 + 3600 = 0
n2 – 900 = 0
(n + 30)(n — 30) = 0
n = — 30 atau n = 30
Jadi persamaan garisnya
y = 3x — 30 atau y = 3x + 30
Contoh soal 4 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 68 yang tegak lurus dengan x + 4y = 12
Jawab :
x + 4y = 12
4y = — x + 12
y = –¼ x + 3
maka m1 = — ¼
Karena saling tegak lurus berlaku
m1.m2 = –1
– ¼ .m2 = –1
m2 = 4
maka persamaan garis singgungya
y = 4x + n
Garis ini kita subtitusi ke lingkaran
x2 + y2 = 68
x2 + (4x + n)2 = 68
x2 + 16x2 + 8nx + n2 = 68
17x2 + 8nx + n2 — 68 = 0
Karena bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(8n)2 — 4.17(n2 — 68) = 0
64n2 — 68n2 + 4624 = 0
– 4n2 + 4624 = 0
n2 — 1156 = 0
(n + 34)(n — 34) = 0
n = — 34 atau n = 34
Jadi, persamaan garisnya
y = 4x — 34 atau y = 4x + 34
Contoh Soal 5 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 40 yang melalaui (0, 20)
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (x1, y1) adalah
y — y1 = m(x — x1)
Persamaan garis yang melalui (0, 20) adalah
y — 20 = m(x — 0)
y = mx + 20
Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke lingkaran
x2 + y2 = 40
x2 + (mx + 20)2 = 40
x2 + m2x2 + 40mx + 400 = 40
(1 + m2)x2 + 40mx + 360 = 0
Karena bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(40m)2 — 4(1 + m2) . 360 = 0
1600m2 — 1440 — 1440m2 = 0
160m2 — 1440 = 0
m2 — 9 = 0
(m + 3)(m — 3) = 0
m = — 3 atau m = 3
Jadi, persamaan garisnya
y = — 3x + 20 atau y = 3x + 20
Contoh Soal 6 :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 10 yang ditarik dari titik (2, 4) adalah …
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (2, 4) bisa ditulis
y — 4 = m(x — 2)
y — 4 = mx — 2m
y = mx — 2m + 4
Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran
x2 + y2 = 10
x2 + (mx — 2m + 4)2 = 10
x2 + m2x2 + 4m2 + 16 — 4m2x + 8mx — 16m = 10
(1 + m2)x2 + (8m — 4m2)x + 4m2 — 16m + 6 = 0
Syarat bersinggungan adalah
D = 0
b2 — 4ac = 0
(8m — 4m2) — 4(1 + m2)(4m2 — 16m + 6) = 0
64m2 — 64m3 + 16m4 — 4(4m2 — 16m + 6 + 4m4 — 16m3 + 6m2) = 0
64m2 — 64m3 + 16m4 — 16m2 + 64m — 24 — 16m4 + 64m3 — 24m2 = 0
24m2 + 64m — 24 = 0
3m2 + 8m — 3 = 0
(m + 3)(3m — 1) = 0
m = –3 atau m = 1/3
Untuk m = –3
y = mx — 2m + 4
y = 3x + 6 + 4
3x — y + 10 = 0
Untuk m = 1/3
y = mx — 2m + 4
3y = 3mx — 6m + 12
3y = x — 2 + 12
x — 3y + 10 = 0
Contoh Soal 7 :
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x — 3)2 + (y + 4)2 = 72 yang membentuk sudut 135o dengan sumbu x positif adalah …
Jawab :
m = tan 135o = –1
y = mx + n
y = — x + n
Persamaan ini kita subtitusikan ke
(x — 3)2 + (y + 4)2 = 72
(x — 3)2 + (– x + n + 4)2 = 72
x2 — 6x + 9 + x2 + n2 + 16 — 2nx — 8x + 8n = 72
2x2 — (2n + 14)x + n2 + 8n — 47 = 0
Syarat bersinggungan adalah
D = 0
b2 — 4ac = 0
(2n + 14)2 — 4.2.( n2 + 8n — 47) = 0
4n2 + 56n + 196 — 8n2 — 64n + 376 = 0
– 4n2 — 8n + 572 = 0
n2 + 2n — 143 = 0
(n + 13)(n — 11) = 0
n = — 13 atau n = 11
Untuk n = – 13
y = — x + n
y = — x — 13
x + y + 13 = 0
Untuk n = 11
y = — x + n
y = — x + 11
x + y — 11 = 0
Contoh Soal 8 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 6x — 2y — 35 = 0 yang tegak lurus dengan x + 2y = 7
Jawab :
x + 2y = 7
2y = — x + 7
y = — ½x + 7/2
m1 = –½
Karena saling tegak lurus maka
m1.m2 = — 1
–½.m2 = — 1
m2 = 2
Persamaan garis
y = mx + n
y = 2x + n
Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke persamaan
x2 + y2 + 6x — 2y — 35 = 0
x2 + (2x + n )2 + 6x — 2(2x + n ) — 35 = 0
x2 + 4x2 + 4nx + n2 + 6x — 4x — 2n — 35 = 0
5x2 + (4n + 2)x + n2 — 2n — 35 = 0
Agar bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(4n + 2)2 — 4.5.(n2 — 2n — 35) = 0
16n2 + 16n + 4 — 20n2 + 40n + 700 = 0
– 4n2 + 56n + 704 = 0
n2 — 14n — 176 = 0
(n + 8)(n — 22) = 0
n = — 8 atau n = 22
Untuk menentukan garis singgung maka nilai n ini kita subtitusikan ke persamaan
y = 2x + n
n = — 8 maka y = 2x — 8
n = 22 maka y = 2x + 22
Contoh Soal 9 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 — 8x — 2y — 3 = 0 yang ditarik dari titik (4, 11)
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (4, 11) adalah
y — 11 = m(x — 4)
y = mx — 4m + 11
Garis ini kita subtitusikan ke persamaan
x2 + y2 — 8x — 2y — 3 = 0
x2 + (mx — 4m + 11)2 — 8x — 2(mx — 4m + 11) — 3 = 0
x2 + m2x2 + 16m2 + 121 — 8m2x + 22mx — 88m — 8x — 2mx + 8m — 22 — 3 = 0
(1 + m2)x2 + (–8m2 + 20m — 8)x + 16m2 — 80m + 96 = 0
Agar bersinggungan maka
D = 0
b2 — 4ac = 0
(–8m2 + 20m — 8)2 — 4(1 + m2)(16m2 — 80m + 96) = 0
(–8m2 + 20m — 8)2 — 4 (16m2 — 80m + 96 + 16m4 — 80m3 + 96m2) = 0
64m4 + 400m2 + 64 — 320m3 + 128m2 — 320m — 64m2 + 320m — 384 — 64m4 + 320m3 — 384m2 = 0
80m2 — 320 = 0
m2 — 4 = 0
(m — 2)(m + 2) = 0
m = 2 atau m = –2
Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan
y = mx — 4m + 11
m = 2 maka y = 2x + 3
m = — 2 maka y = — 2x + 19