Super Matematika

Persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m bisa kita hitung dengan menggunakan diskriminan. Akan tetapi pada bahasan ini kita gunakan rumus-rumus agar lebih cepat menghitungnya.

Berikut ini adalah rumus-rumus yang diberikan

Dengan ketentuan a > b

Untuk lebih jelasnya kita kita lihat contoh-contoh berikut

 

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan garis singgung elips yang bergradien 1

Jawab :

m = 1, a² = 6, dan b² = 3

Persamaan garis singgungnya bisa ditulis sebagai berikut

maka

Jadi, garis singgungnya adalah y = x + 3 dan y = x — 3

 

Contoh Soal 2 :

Tentuka persamaan garis singgung pada elips dengan gradien –1

Jawab :

m = — 1, b² = 4, dan a² = 12

Persamaan garis singgungya bisa ditulis

Jadi

Jadi, persamaan garis singgungnya y = — x + 4 dan y = — x — 4

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips dengan gradien 1/6

Jawab :

m = 1/6 , a² = 40, dan b² = 10

Karena pusat elips (–1, 3) maka persamaan garis singgungnya

Jika kita pilih yang positif maka

6y — 18 = x + 1 + 20

–x + 6y — 39 = 0

x — 6y + 39 = 0

Jika kita pilih yang negatif maka

6y — 18 = x + 1 — 20

–x + 6y + 1 = 0

x — 6y — 1 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x — 6y + 39 = 0 dan x — 6y — 1 = 0

 

Contoh Soal 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips yang bergradien 9

Jawab :

m = 9, b² = 10, dan a² = 90

Karena pusat elips (2, –3) maka persamaan garis singgungnya adalah

Jika kita pilih yang positif maka

Jika kita pilih yang negatif maka

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y = 9x + 9 dan y = 9x — 51

 

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 5

Jawab :

Garis y = 2x + 5 memiliki gradien m₁ = 2

Karena garis ini tegak lurus dengan garis singgung maka berlaku

m₁.m₂ = –1

2m₂ = –1

m₂ = — ½

Selanjutnya gradien yang kita pakai adalah m = m₂ = — ½

dari elips diperoleh b² = 9, dan a² = 18

Maka persamaan garisnya adalah

Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 2y + 9 = 0 dan x + 2y – 9 = 0

 

Contoh Soal 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva yang membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positif

Jawab :

a² = 20 , b² = 5, dan m = tan 45^o = 1

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x + 5 dan y = x – 5

 

Contoh Soal 7 :

Tentukan persamaan garis singgung elips yang ditarik dari (6, –1)

Jawab :

a² = 8 dan b² = 2

Titik (6, –1) ada di luar kurva

Persamaan garis singgungnya bisa dicari dengan rumus

Sekarang subtitusikan titik (6, –1) sehingga

Sekarang kedua ruas dikuadratkan

36m² + 12m + 1 = 8m² + 2

28m² + 12m — 1 = 0

(2m + 1)(14m — 1) = 0

m = — ½ atau m = 1/14

Nilai m ini kita subtitusikan ke

untuk m = — ½ nilai — 6m — 1 = 3 — 1 = 2 (positif)

untuk m = 1/14 nilai — 6m — 1 = 6/14 — 1 = — 4/7 (negatif)

Untuk yang positif kita gunakan

Untuk yang positif kita gunakan

 

Jadi m = — ½ kita subtitusikan ke

2y = – x + 4

x + 2y – 4 = 0

 

untuk m = 1/14 kita subtitusikan ke

14y = x – 20

x – 14y – 20 = 0

 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x + 2y – 4 = 0 dan x – 14y – 20 = 0