Limit Dengan Deret Maclaurin

Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan

Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.

Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.

Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga

sin x ≈ x

cos x ≈ 1

tan x ≈ x

Jika x kita ganti dengan 2x maka

sin 2x ≈ 2x

cos 2x ≈ 1

tan 2x ≈ 2x

Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka

sin ax ≈ ax

cos ax ≈ 1

tan ax ≈ ax

Bagaimana jika adabentuk 1 – cos x ?

untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 – cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 – ½x2 .

Sehingga

1 – cos x ≈ 1 – (1 – ½x2) = 1 – 1 + ½x2= ½x2

Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?

Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku

tan x – sin x ≈ x + ⅓ x3 – (x – ⅙ x3)

= x + ⅓ x3 – x + ⅙ x3 = ½ x3

 

Contoh soal 1 :

  

Jawab :

  

  

 

 

Contoh Soal 2 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 3 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 4 :

 

Jawab :

Karena 1 – cos x ≈  ½x2

Maka 1 – cos 4x ≈  ½(4x)2

=½ .16x2 = 8x2

sehingga

  

 

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *