Deret Aritmetika

Deret aritmetika memiliki ciri-ciri selisih tetap sehingga

U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = U10 – U9 = Un – Un-1 = b

Suku ke n pada deret aritmetika dinyatakan dengan

Un = a + (n – 1) b

dengan a = suku pertama
dan b = beda

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan

atau

 

Contoh soal 1 :

3, 7, 11, 15, …..

suku ke 1000 sama dengan ….

Jawab :

a = 3
b = 7 – 3 = 4
Un = a + (n-1) b
=3 + (n – 1) 4
= 3 + 4n – 4
= 4n – 1
U1000 = 4000 – 1 = 3999

 

Contoh soal 2 :

Jumlah 2000 suku pertama deret

1 + 3 + 5 + 7 + ….

adalah

Jawab :

a = 1
b = 3 – 1 = 2

S2000 = 20002 = 4.000.000

 

Contoh Soal 3 :

Pada barisan aritmetika diketahui
U7 = 61 dan U15 = 125
maka U20 = …

Jawab :

U15 = a + 14b = 125
U7   = a +  6b = 61  _
.              8b = 64
.               b = 8

a + 6b = 61
a + 56 = 61
a = 5

U20 = a + 19b = 5 + 152 = 157

 

 

Contoh soal 4 :

4 + 6 + 8 + 10 + ……+ x = 10300

maka x = ….

Jawab :

a = 4        b = 6 – 4 = 2      Un = x = ?
Sn = 10300
n/2(2a + (n-1)b) = 10300
n/2(8 + 2n – 2) = 10300
4n + n2 – n = 10300
n2 + 3n – 10300 = 0
(n + 103)(n-100) = 0
n = -103 (tidak memenuhi)
n = 100

x = Un = a + (n – 1)b = 4 + 2n – 2 = 2n + 2
x = 200 + 2 = 202

 

Contoh soal 5 :

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 60. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 7500 maka bilangan terkecil adalah …

Jawab :

U1 + U2 + U3 = 60
a + a + b + a + 2b = 60
3a + 3b = 60
a + b = 20
a = 20 – b

U1.U2.U3 = 7500
a(a+b)(a+2b) = 7500
(20-b).20(20-b+2b) = 7500
(20-b)(20 +b) = 375
400 – b2 = 375
b2 = 25
b = 5

a = 20 – b = 20 – 5 = 15

Bilangan terkecil = 15

 

Contoh soal 6 :

Pada deret aritmetika jumlah n suku pertama deret dinyatakan dengan Sn = 3n2 + 8n. Suku ke n deret tersebut adalah …

 Jawab :

Sn = 3n2 + 8n

Sn-1 = 3(n -1)2 + 8(n -1)
= 3(n2 – 2n + 1) + 8n – 8
= 3n2 – 6n + 3 + 8n – 8
= 3n2 + 2n – 5

Un = Sn – Sn-1
= 3n2 + 8n – (3n2 + 2n – 5)
= 6n + 5

 

Contoh soal 6 :

Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan suku pertama, suku ke 8 dan suku ke 9 dari barisan aritmetika. Jika sisi miring sama dengan 65 maka sisi siku-siku terpanjang sama dengan

Jawab :

segitiga aritmetika

U9 = 65
a + 8b = 65
a = 65 – 8b

u12 + U82 = U92
a2 + (a+7b)2 = 652
(65 – 8b)2 + (65-8b+7b)2 = 652
(65 – 8b)2 + (65-b)2 = 652
4225 – 1040b + 64b2 + 4225 – 130b + b2 = 4225
65b2 – 1170b + 4225 = 0
b2 – 18b + 65 = 9
(b – 13)(b-5) = 0
b = 13 (tidak mungkin → menyebabkan salah satu sisi negatif)
b = 5

a = 65 – 8b = 65 – 40 = 25
U8 = a + 7b = 25 + 35 = 60

Jadi, sisi siku-siku terpanjang = 60

 

Contoh soal 7 :

pada deret aritmetika diketahui jumlah 7 suku pertamanya adalah 84 dan jumlah 11 suku pertamanya adalah 172. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

S7 = 84       S11 =176       S15 = …

Jawab :

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S7 = 7/2(2a + 6b) = 84
7(a + 3b) = 84
a + 3b = 12

S11 = 11/2 (2a + 10b) = 176
11(a + 5b) = 176
a + 5b = 16

Sekarang kita eliminasi kedua persamaan

a + 5b = 16
a + 3b = 12  _
.    2b = 4 maka b = 2

a + 3b = 12
a + 6 = 12
a = 6

S15 = 15/2 (2a + 14b)
= 15 (a + 7b) = 15(6 + 14) 300

 

Contoh soal 8 :

Diketahui 400 suku deret deret aritmetika. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 15.000 sedangkan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 7.000. Beda deret sama dengan ….

Jawab :

U2 + U4 + U6 + …+ U400 = 15.000
U1 + U3 + U5 + …+ U399 =   7.000     _
b  + b  + b  + …. + b = 8000
200b = 800
b = 4

 

Comments are closed.