Archive for Uncategorized

Deret Aritmetika Bertingkat

Secara umum, rumus suku ke n pada deret aritmetika adalah

Un = a + (n – 1) b

Rumus di atas bisa kita sebut rumus suku ke n untuk deret aritmetika tingkat 1.

Kita bisa juga membuat Rumus deret aritmetika tingkat 2, tingkat 3, tingkat 4, dan seterusnya

 

Agar lebih jelas, kita rinci sebagai berikut :

Deret aritmetika tingkat 1 :

atau

Deret aritmetika tingkat 2 :

atau

Deret aritmetika tingkat 3 :

atau

Deret aritmetika tingkat 4 :

Deret aritmetika bertingkat

atau

Deret bertingkat aritmetika

Rumus Un (jumlah suku ke n) di atas bisa dijadikan rumus jumlah n suku pertama (Sn), hanya saja beda tingkatannya. Jika suatu deret, Un nya merupakat deret aritmetika tingkat 3 maka Sn nya merupakan tingkat 4

 

Contoh soal 1 :

Tentukan jumlah 81 suku pertama deret berikut :

1 + 4 + 7 + 10 + …..

Jawab :

Kita bisa memecahkan soal ini dengan menggunakan cara biasa (deret aritmetika tingkat 1). Dengan ketentuan

Cara I :

a = 1                b = 4 – 1 = 3

Cara II:

Deret di atas merupakan deret aritmetika tingkat I, sehingga rumus Sn nya merupakan deret aritmetika tingkat 2

S1 = 1        S2 = 1 + 4 = 5     S3 = 1 + 4 + 7 = 12

S4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22       S5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

Selanjutnya, S1, S2, S3, S4, S5 kita susun sebagai berikut

Bilangan aritmetika bertingkat

Bilangan pada baris kedua diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris pertama

Bilangan pada baris ketiga diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris kedua

Karena pada baris ketiga bilangannya konstan maka kita tidak usah membuat baris keempat

Di setiap baris kita perhatikan bilangan awal saja, yaitu 1, 4, dan 3, ini artinya a = 1 , b = 4 dan c = 3

Sehingga

Jadi :

 

Contoh Soal 2 :

Jika bilangan ganjil dikelompokkan menjadi

(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29)……

Maka bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah …..

Jawab :

Kita ambil saja bilangan terakhir pada setiap suku

1, 5, 11, 19, 29, ….

Selanjutnya bilangan-bilangan ini kita cari selisih-selisih antar sukunya sebagai berikut :

deret kelompok

Dari setiap baris, kita ambil bilangan pertamanya, yaitu 1, 4, dan 2

deret kelompok bagian 2

maka a = 1, b = 4, c = 2

U50 = 1 + (50 – 1).4 + (50 – 1)(50 – 2).1

U50 = 1 + 196 + 2352 =2549

Jadi, bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah 2.549

 

Contoh Soal 3 :

Semua bilangan asli kelipatan 3 dikelompokkan sebagai berikut

(3), (6, 9, 12), (15, 18, 21, 24, 27), (30, 33, 36, 39, 42, 45, 48) , (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75), …..

Jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah ……

Jawab :

Jika kita lanjutkan kelompok berikutnya adalah

(78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108)

(111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147)

 

U1  = 3

U2 = 6 + 9 + 12 = 27

U3 = 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 105

U4 = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 = 273

U5 = 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 = 567

U6 =78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99 + 102 + 105 + 108 = 1023

U7 = 111 + 114 + 117 + 120 + 123 + 126 + 129 + 132 + 135 + 138 + 141 + 144 + 147 = 1677

Suku-suku ini kita cari selisihnya sebagai berikut

jumlah deret bertingkat

Selanjutnya bilangan-bilangan pertama masing-masing kita beri nama a, b, c, dan c

jumlah deret bertingkat bagian 2

Jadi, a = 3, b = 24, c = 54, d = 36

Maka

a = 3       27      105      273       567      1023       1677

 

 

b = 24       78       168      294     456         654

 

 

c = 54        90      126         162       198

 

d = 36       36        36      36

Un = 3 + (n – 1)24 + (n – 1)(n – 2)54/2 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)36/6

U101 = 3 + (100).24 + (100)(99).27 + (100)(99)(98).6

U101 = 3 + 2400 + 267.300 + 5.821.200 = 6.090.903

Jadi, jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah  6.090.903

 

 

Uniknya 9 Kali Bilangan Angka Berurutan

Bilangan 9 memang selalu memiliki keunikan tersendiri. Ketika dikalikan dengan bilangan lain, maka jumlah angka-angkanya selalu habis dibagi 9 juga

9 x 2 = 18 ——> 1 + 8 = 9

9 x 3 = 27 ——-> 2 + 7 = 9

9 x 4 = 36 ——-> 3 + 6 = 9

9 x 5 = 45 ——-> 4 + 5 = 9

9 x 6 = 54 ——-> 5 + 4 = 9

9 x 7 = 63 ——-> 6 + 3 = 9

9 x 8 = 72 ——-> 7 + 2 = 9

9 x 9 = 81 ——-> 8 + 1 = 9

Dan seterusnya.

Tapi kali ini akan kita lihat dari sisi lain . Kita akan mencoba mengalikan dengan bilangan yang sudah kita dapatdengan bilangan yang angkanya terurut. Maksudnya kita kalikan dengan 12.345.679 ….. (he he, angka 8 ga ada ya .., jadi ga 100% berurutan)

9 x 12.345.679 = 111.111.111

18 x 12.345.679 = 22.222.222

27 x 12.345.679 = 333.333.333

36 x 12.345.679 = 444.444.444

45 x 12.345.679 = 555.555.555

54 x 12.345.679 = 666.666.666

63 x 12.345.679 = 777.777.777

72 x 12.345.679 = 888.888.888

81 x 12.345.679 = 999.999.999

 

Menarik bukan ? Tunggu postingan menarik elanjutnya ya ….