Archive for Turunan

Maksimum Minimum Dengan Turunan

Turunan seringkali diaplikasikan untuk mencari maksimum dan minimum. Kondisi maksimum dan minimum merupakan kondisi stasioner. Untuk lebih memahami, bisa dipelajari di bagian fungsi naik dan fungsi turun.

Kondisi stasioner terjadi saat turunan pertama bernilai nol. Jadi, baik maksimum maupun minimum, turunan pertama harus nol. Agar lebih jelas kita kerjakan saja soal-soal berikut :

 

Contoh soal 1 :

Jumlah dua buah bilangan adalah 22. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah …

Jawab :

misal, kedua bilangan tersebut adalah x dan y

maka

x + y = 22

y = 22 – x

sehingga hasil kalinya

xy = x(22 – x) = 22x – x2

Agar maksimum maka turunan pertama harus nol

22 – 2x = 0

22 = 2x

x = 11

maka

y = 22 – x = 22 – 11 = 11

Hasil kali maksimumnya adalah

xy = 11.11 = 121

 

Contoh soal 2

Selisih dua buah bilangan adalah 12. Hasil kali minimum kedua bilangan adalah …..

Jawab :

misalkan kedua bilangan adalah a dan b, sehingga

a – b = 12

a = b + 12

hasil kali kedua bilangan adalah

ab = (b + 12)b = b2 + 12b

Agar minimum maka turunan pertama sama dengan nol

2b + 12 = 0

2b = – 12

b = –6

nilai a bisa diperoleh dari

a = b + 12 = –6 + 12 = 6

Hasil kali minimumnya adalah

ab = 6(–6) = –36

 

Contoh soal 3 :

Luas maksimum persegi panjang yang diarsir adalah …

persegi-panjang-maksimum

Jawab :

Persamaan garis pada gambar adalah

10x + 6y = 10.6

10x + 6y = 60

6y = 60 – 10x

y = 10 – (5/3) x

Setiap titik pada garis bisa kita misalkan x, y

maksimum-dan-minimum-fungsi

Jika (x, y) kita letakkan pada titik sudut persegi panjang  maka x menyatakan lebarnya dan y menyatakan panjangnya, sehingga luasnya

L = xy = x(10 – (5/3) x) = 10x – (5/3) x2

Agar L maksimum maka

L’ = 0

10 – (10/3) x = 0

10 = (10/3) x

x = 3

sehingga

y = 10 – (5/3) x = 10 – 5 = 5

luas maksimum

L = xy = 3.5 = 15

 

Contoh Soal 4 :

Jarak terdekat titik (5, 0) ke kurva y = √x adalah ….

Jawab :

Persamaan kurva adalah 

Bentuk ini bisa diubah menjadi

y2 = x atau x = y2

jarak-titik-ke-kurva

Misalkan jarak (5,0) ke kurva dimisalkan s, maka

Agar nilai s minimum maka nilai yang di dalam akar harus minimum

Maka turunan fungsi yang di dalam akar harus 0

turunan (x2  – 9x + 25) = 0

2x – 9 = 0

x = 9/2

maka

 

Contoh soal 5 :

Jika nilai maksimum fungsi

adalah 7, maka p = ….

Jawab :

Agar maksimum maka

y’ = 0

Dari soal diketahui

ymaks = 7

Turunan Fungsi Hiperbolik

Sebelum mempelajari turunan fungsi hiperbolik alangkah baiknya kita mempelajari turunan fungsi eksponen dan fungsi hiperbolik.

 

Yang perlu kita ingat lagi adalah

y = ex maka y’ = ex

Dengan menggunakan teorema rantai mak

y = ef(x) maka y’ = ef(x)f ‘(x)

Jadi

y = e2x maka y’ = e2x.2 = 2e2x

y = e5x maka y’ = e5x.5 = 5e5x

y = e-x maka y’ = e-x.(-1) = -e-x

y = e3x+5 maka y’ = e3x+5.3 = 3e3x+5

 

Contoh soal 1 :

Turunan fungsi y = sinh x adalah ….

Jawab :

maka

 

Contoh soal 2 :

Turunan fungsi y = cosh x adalah ….

Jawab :

maka

 

Contoh soal 3 :

Turunan fungsi y = tanh x adalah ….

Jawab :

kita bisa menganggap

u = ex – e -x

v = ex + e-x

maka

u = ex + e -x

v = ex – e-x

Dengan demikian