Archive for Suku Banyak

Menyederhanakan Persamaan Kubik Menjadi Persamaan Kuadrat

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax3 + bx2 + cx + d = 0

Untuk sementara kita pecahkan dulu model soal yang lebih sederhana, yaitu

x3 + px + q = 0

Pertama kita misalkan x = m + n dengan m dan n adalah dua bilangan berbeda sehingga

(m + n)3 + p(m+ n) + q = 0

m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 + p(m + n) + q = 0

m3 + 3mn(m + n) + n3 + p(m + n) + q = 0

m3 +  n3 + 3mn(m + n) + p(m + n) + q = 0

m3 +  n3 + (3mn + p)(m + n) + q = 0 ………………………….(1)

Sekarang kita pilih

3mn + p = 0 sehingga

………………………………………………………….(2)

Persamaan (1) menjadi

m3 +  n3 +  q = 0 …………………………………………………..(3)

Sekarang kita subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Ketika kedua ruas dikalikan dengan n3 maka diperoleh

atau

………………………………………………………(4)

Persamaan (4) ini merupakan persamaan kubik dalam n3

sehingga a = 1, b = q dan

Maka D = b2 – 4ac

D di sini kita sebut sebagai diskriminan persamaan kubik

Sifat-sifat diskriminan persamaan kubik :

D < 0 maka persamaan kubik memiliki 3 akar real

D = 0 maka persamaan kubik memiliki 3 akar real, dengan ketentuan paling tidak 2 kembar (bisa 2 kembar ataupun 3 kembar)

D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real

 

 

 

Persamaan Kubik

Bentuk umum dari persamaan kubik adalah

ax3 + bx2 + cx + d = 0  dengan a ≠ 0

Persamaan ini memiliki 3 akar

Untuk mendapatkan akarnya ada 3 cara yang bisa dilakukan

1. Memfaktorkan

2. Menyederhanakan menjadi persamaan kuadrat

3. Menggunakan rumus

 

Cara I : memfaktorkan

Cara ini biasanya hanya dipakai untuk mencar akar-akar rasional

 

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 7x2 + 10x  = 0

Jawab :

x3 – 7x2 + 10x  = 0

x(x2 – 7x + 10)  = 0

x(x – 2)(x – 5) = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Jawab :

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

(x2 – 4)(x – 3)= 0

(x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

x = 2 atau x = -2 atau x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-2, 2, 3}

 

Contoh soal 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

 

Jawab :

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

x2 (x – 5) – 25(x – 5) = 0

(x2 – 25) (x – 5) = 0

(x – 5)(x + 5)(x – 5) = 0

x = 5 atau x = -5 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-5, 5}

 

Contoh soal 4 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

Jawab :

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

x2 ( x – 5) – 2(x – 5) = 0

(x2 – 2)(x – 5) = 0

   atau      atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh soal 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

Jawab :

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

x2 (3x – 1) + 2(3x – 1) = 0

(x2 + 2)(3x – 1) = 0

x2 = – 2 (tidak mungkin)

x = 1/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 6

Himpunan penyelesaian dari x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0 adalah …

Jawab :

Karena tidak kelihatan bentuk istimewanya maka kita selesaiakn dengan metoda horner

Pembagian Horner pada persamaan kubik

Persamaan kubik bisa kita faktorkan menjadi

(x – 1)(x2 – 7x + 12) = 0

(x – 1)(x – 3)(x – 4) = 0

x = 1 atau x = 3 atau x = 4

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4}

 

Contoh Soal 7

Himpunan penyelesaian dari x3 – 6x2 + 5x + 6 = 0 adalah …

Jawab :

Untuk memecahkan soal ini akan lebih mudah jika kita gunakan metoda horner

Penyelesaian persamaan kubik dengan horner

Maka persamaan kubik bisa difaktorkan menjadi

(x – 2)(x2 – 4x – 3) = 0

x = 2 atau x2 – 4x – 3 = 0

Untuk menyelesaiakan persamaan x2 – 4x – 3 = 0 kita gunakan rumus ABC

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

 Contoh soal 8 :

Himpunan penyelesaian dari 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah …

Jawab :

Sekarang kita lakukan pembagian Horner

Metoda pembagian horner

Dengan demikian kita bisa memfaktorkan menjadi

(x + ½)(2x2 – 4x + 16) = 0

atau

(2x + 1)(x2 – 2x + 8) = 0

x = -1/2 atau x2 – 2x + 8 = 0

Persamaan x2 – 2x + 8 = 0 memiliki diskriminan

D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4.1.8 = 4 – 32 = -28

Karena D < 0 maka x2 – 2x + 8 = 0 tidak memiliki akar real

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan 2x3 – 3x2 + 14x + 8 = 0 adalah