Archive for Suku Banyak

Nilai Suku Banyak

Nilai suku banyak bisa dicari dengan mensubtitusikan nilai dari variabel yang dibarikan. Kita bisa mensubtitusikan langsung, bisa juga dengan metoda horner.

 

Contoh Soal 1 :

Diketahui suku banyak F(x) = x4 – 2x3 + 6x2 – 7. Tentukan nilai suku banyak saat x = 3.

Jawab :

Cara I :

kita bisa langsung mensubtitusikan x = 3

Karena F(x) = x4 – 2x3 + 6x2 – 7

maka F(3) = 34 – 2.33 + 6.32 – 7 = 81 – 54 + 54 – 7 = 74

Cara ini memang kelihatan ringkas. Namun, terkadang agak berat di perhitungan. Karena itulah kita gunakan metoda Horner.

Cara II :

Nilai suku banyak

Hasilnya sama, yaitu 74

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui suku banyak F(x) = 2x4 – 15x3 – 30x2 + 20x + 100. Tentukan nilai suku banyak saat x = 9.

 

Jawab :

Tentu saja jika kita menggunakan subtitusi langsung akan sangat berat. Untuk itu langsung saja pakai Horner

Nilai suku banyak 2

Jadi F(9) = 7

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan nilai dari

3.76 – 20.75 – 11.74 + 30.73 – 9.72 – 28.7 + 51

 

Jawab :

Jika nilai di atas langsung kita hitung, tentunya akan membutuhkan perhitungan yang berat. Untuk memudahkan, maka soal bisa dimodifikasi menjadi berikut :

Jika F(x) = 3x6 – 20x5 – 11x4 + 30x3 – 9x2 – 28x + 51

Maka F(7) sama dengan ….

Jadi soal ini bisa kita selesaikan dengan Horner

Nilai suku banyak 3

Jadi F(7) = 100

Sehingga

3.76 – 20.75 – 11.74 + 30.73 – 9.72 – 28.7 + 51 = 100

 

 

Apakah Horner merupakan cara yang selalu mudah ? Jawabannya belum tentu. Marilah kita lihat

 

Contoh Soal 4

 

Diketahui suku banyak F(x) = x3 + 6x2 + 12x + 30. Tentukan nilai suku banyak saat x = 

 

Jawab :

Seandainya kita menggunakan Horner, tentunya masih sangat sulit. Untuk itu ingat penguraian binom pangkat 3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Maka

(x + 2)3 = x3 + 3x2.2 + 3x.22 + 23

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

x3 + 6x2 + 12x = (x + 2)3 – 8

 

Sekarang kita kembali ke F(x)

F(x) = (x3 + 6x2 + 12x) + 30

F(x) = (x + 2)3 – 8  + 30

F(x) = (x + 2)3 + 22

Maka

 

 

 

 

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

 

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax3 + bx2 + cx + d = 0 dengan a tidak boleh nol. Persamaan ini akan memiliki 3 akar, yaitu x1, x2, dan x3. Ketiga akar ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

 

x1 + x2 + x3  = – b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = – d/a

 

Sifat-sifat ini yang sering diberi nama teorema vieta

Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

 

Contoh Soal 1

Persamaan 2x3 – 8x2 + 6x – 9 = 0 memiliki akar-akar p, q dan r. Tentukan nilai dari

a. p2qr + pq2r + pqr2

b.p2q2r + p2qr2 + pq2r2

c.p2 + q2 + r2

d.

e.

f.p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3

g.p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3

 

Jawab :

a = 2    b = – 8    c = 6    d = – 9

p + q + r = – b/a = 8/2 = 4

pq + pr + qr = c/a = 6/2 = 3

pqr = –d/a = 9/2

 

poin a

p2qr + pq2r + pqr2

= pqr(p + q + r) = 9/2.(4) = 18

 

poin b

p2q2r + p2qr2 + pq2r2

= pqr(pq + pr + qr)

= (9/2)(3) = 27/2 = 13,5

 

poin c

p2 + q2 + r2

=(p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr)

= 42 – 2(3) = 16 – 6 = 10

 

poin d

 

poin e

 

poin f

p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3 = p2q2r2 (p + q + r)

.                               = (pqr)2 (p + q + r) = (9/2)2 (4) = 81

 

poin g

p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3 = p2q2r2 (pq + pr + qr)

.                             = (pqr)2 (pq + pr + qr) = (9/2)2 (3) = 243/4

 

Contoh soal 2 :

Akar-akar persamaan kubik x3 – 6x2 + 7x + 3 = 0 adalah k, m, dan n. Tentukan nilai dari (k – 2)(m – 2)(n – 2) = …

 

Jawab :

k + m + n = –b/a = 6

km + kn + mn = c/a = 7

kmn =  –d/a = –3

 

(k – 2)(m – 2)(n – 2)

= (k – 2)(mn – 2m – 2n + 4)

= (k – 2)(mn – 2(m + n) + 4)

= kmn – 2k(m + n) + 4k – 2mn + 4(m + n) – 8

= kmn – 2km –2kn + 4k – 2mn + 4m + 4n – 8

= kmn – 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) – 8

=  –3 – 2(7) + 4(6) – 8

= –3 – 14 + 24 – 8 = –1

 

Contoh Soal 3 :

Salah satu akar persamaan x3 – 8x2 + 2x + k = 0 adalah 3. Jumlah kedua akar yang lain adalah ….

Jawab :

x1 = 3 maka x2 + x3 = ….

 

x1 + x2 + x3 =  – b/a = 8

3 + x2 + x3 = 8

x2 + x3 = 5

 

Contoh Soal 4 :

Agar persamaan x3 – x2  – 16x + 2k – 30  = 0 memiliki akar kembar dan bernilai bulat maka nilai k sama dengan

 

Jawab :

Karena kembar, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m     x2 = n   dan x3 = n

x1 + x2 + x3 = –b/a = 1

m + n + n = 1

m = 1 – 2n

 

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –16

mn + mn + n2 = –16

2mn + n2 = –16

2(1 – 2n)n + n2 = –16

2n – 4n2 + n2 = –16

–3n2 + 2n + 16 = 0

3n2 – 2n – 16 = 0

(n + 2)(3n – 8) = 0

n = –2 atau n = 8/3

karena akar bernilai bulat maka n = –2

m = 1 – 2n = 1 + 4 = 5

 

x1.x2.x3 = –d/a = 2k – 30

mnn = –(2k – 30)

5.( –2)( –2) = –2k + 30

20 = –2k + 30

2k = 10

k = 5

 

Contoh Soal 5 :

Agar akar-akar persamaan kubik x3 – 12 x2 + (5t + 4)x – 48 = 0 membentuk daret aritmetika maka nilai t adalah ….

 

Jawab :

Karena deret aritmetika, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m      x2 = m + n      x3 = m + 2n

x1 + x2 + x3 =  – b/a = 12

m + m + n + m + 2n = 12

3m + 3n = 12

m + n = 4

m = 4 – n

 

x1x2x3 = –d/a = 48

m(m+n)(m + 2n) = 48

(4 – n)( 4 – n + n)( 4 – n + 2n) = 48

(4 – n).4.( 4 + n) = 48

(4 – n)(4 + n) = 12

16 – n2 = 12

16 – 12 = n2

n2 = 4

n = 2 atau n = –2

 

Untuk n = 2 maka

m = 4 – n = 4 – 2 = 2

x1 = m = 2     x2 = m + n = 0     x3 = m + 2n = –2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

2.0 + 2(–2) + 0.( –2) = 5t + 4

–4 = 5t + 4

5t = –8 maka t = –1,6

 

Untuk n = –2

m = 4 – n = 4 + 2 = 6

x1 = m = 6     x2 = m + n = 4     x3 = m + 2n = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

6.4 + 6.2 + 4.2 = 5t + 4

24 + 12 + 8 = 5t + 4

44 = 5t + 4

40 = 5t

t = 8

 

Contoh Soal 6 :  

Agar akar-akar persamaan kubik x3 – 21x2 + (h + 3)x – 216 = 0 membentuk daret geometri maka nilai h adalah ….

 

Jawab :

Karena membentuk deret geometri maka bisa dimisalkan

x1 = p    x2 = pr     x3 = pr2

x1.x2.x3 = –d/a = 216

p.pr.pr2 = 216

p3r3 = 216

(pr)3 = 63

pr = 6

p = 6/r

 

x1 + x2 + x3 = –b/a = 21

p + pr + pr2 = 21

6/r + (6/r)r + (6/r)r2 = 21

6/r + 6 + 6r = 21

Jika kedua ruas dikali r maka

6 + 6r + 6r2 = 21r

6r2 – 15r + 6 = 0

Jika kedua ruas dibagi 3 mala

2r2 – 5r + 2 = 0

(r – 2 ) (2r – 1) = 0

r = 2 atau r = ½

 

Untuk r = 2 maka p = 6/r = 3

x1 = p = 3    x2 = pr = 6     x3 = pr2 = 12

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

3.6 + 3.12 + 6.12 = h + 3

18 + 36 + 72 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

Untuk r = ½ maka p = 6/(½) = 12

x1 = p = 12    x2 = pr = 6     x3 = pr2 = 3

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

12.6 + 12.3 + 6.3 = h + 3

72 + 36 + 18 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

 

Contoh Soal 7 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x3 – 6x2 + 5px – 2 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akar persamaan 2x3 – 6x2 + 2px + 9 = 0. Maka nilai m sama dengan …

 

Jawab :

Misalkan akar-akar persamaan 3x3 – 6x2 + 10x – p = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 = – b/a = 6/3 = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5p/3

x1x2x3 = – d/a = 2/3

Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah

 

Misalkan akar-akar persamaan 2x3 – 6x2 + 2px + 9 = 0 adalah p, q, r

p + q + r =  – b/a = 6/2 = 3

pq + pr + qr = c/a = 2p/2 = p

pqr = –d/a = –9/2

Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr) = 9 – 2p

 

Jumlah kebalikan akar = jumlah kuadrat akar

5p = 18 – 4p

9p = 18

p = 2

 

Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan  x3 – 5x2 – 4x – 3 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka nilai dari

a.x13 + x23 + x33

b.x14 + x24 + x34

 

Jawab :

x1 + x2 + x3 = – b/a = 5

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –4

x1x2x3 = – d/a = 3

x12 + x22 + x32 = (x1+x2+x3)2 – 2(x1x2+x1x3+x2x3) = 25 + 8 = 33

 

Persamaan polinom bisa kita ubah sebagai berikut

x3 = 5x2 + 4x + 3

nilai x ini bisa kita ganti dengan x1, x2, dan x3, sehingga

x13 = 5x12 + 4x1 + 3

x23 = 5x22 + 4x2 + 3

x33 = 5x32 + 4x3 + 3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x13 + x23 + x33 = 5(x12 + x22 + x32) + 4(x1 + x2 + x3 ) + 9

= 5(33) + 4(5) + 9 = 165 + 20 + 9 = 194

 

Sekarang kita tentukan nilai x14 + x24 + x34

x3 = 5x2 + 4x + 3

Jika dikali dengan x maka

x4 = 5x3 + 4x2 + 3x

Jika x kita ganti dengan x1, x2, dan x3, maka

x14 = 5x13 + 4x12 + 3x1

x24 = 5x23 + 4x22 + 3x2

x34 = 5x33 + 4x32 + 3x3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x14 + x24 + x34 = 5(x13 + x23 + x33) + 4(x12 + x22 + x32) + 3(x1 + x2 + x3)

= 5(194) + 4(33) + 3(5)

= 970 + 132 + 15  = 1117

 

Contoh soal 8

Persamaan polinom x3 –x2 + x – 1 = 0 adalah p, q, dan r,  maka nilai dari p102 + q102 + r102 = …

 

Jawab :

p + q + r =  – b/a = 1

pq + pr + qr = c/a = 1

pqr = –d/a = 1

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr) = 1 – 2 = –1

 

Persamaan polinom bisa kita tulis menjadi

x3 = x2 – x + 1 ………………………………………..(1)

Jika persamaan (1) dikali dengan x maka

x4 = x3 – x2 + x ……………………………………..(2)

subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka

x4 = (x2 – x + 1) – x2 + x

x4 = 1

maka

x100 = (x4)25 = 125 = 1

x100 = 1

Jika kedua ruas  dikali dengan x2 maka

x102 = x2  ……………………………………………………….(3)

Nilai x pada persamaan (3) bisa diganti dengan akar-akarnya, yaitu p, q, dan r sehingga

p102 = p2

q102 = q2

r102 = r2

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

P102 + q102 + r102 = p2 + q2 + r2 = –1