Archive for Suku Banyak

Nilai Suku Banyak

Nilai suku banyak bisa dicari dengan mensubtitusikan nilai dari variabel yang dibarikan. Kita bisa mensubtitusikan langsung, bisa juga dengan metoda horner.

 

Contoh Soal 1 :

Diketahui suku banyak F(x) = x4 – 2x3 + 6x2 – 7. Tentukan nilai suku banyak saat x = 3.

Jawab :

Cara I :

kita bisa langsung mensubtitusikan x = 3

Karena F(x) = x4 – 2x3 + 6x2 – 7

maka F(3) = 34 – 2.33 + 6.32 – 7 = 81 – 54 + 54 – 7 = 74

Cara ini memang kelihatan ringkas. Namun, terkadang agak berat di perhitungan. Karena itulah kita gunakan metoda Horner.

Cara II :

Nilai suku banyak

Hasilnya sama, yaitu 74

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui suku banyak F(x) = 2x4 – 15x3 – 30x2 + 20x + 100. Tentukan nilai suku banyak saat x = 9.

 

Jawab :

Tentu saja jika kita menggunakan subtitusi langsung akan sangat berat. Untuk itu langsung saja pakai Horner

Nilai suku banyak 2

Jadi F(9) = 7

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan nilai dari

3.76 – 20.75 – 11.74 + 30.73 – 9.72 – 28.7 + 51

 

Jawab :

Jika nilai di atas langsung kita hitung, tentunya akan membutuhkan perhitungan yang berat. Untuk memudahkan, maka soal bisa dimodifikasi menjadi berikut :

Jika F(x) = 3x6 – 20x5 – 11x4 + 30x3 – 9x2 – 28x + 51

Maka F(7) sama dengan ….

Jadi soal ini bisa kita selesaikan dengan Horner

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

Nilai suku banyak 3

Jadi F(7) = 100

Sehingga

3.76 – 20.75 – 11.74 + 30.73 – 9.72 – 28.7 + 51 = 100

 

 

Apakah Horner merupakan cara yang selalu mudah ? Jawabannya belum tentu. Marilah kita lihat

 

Contoh Soal 4

 

Diketahui suku banyak F(x) = x3 + 6x2 + 12x + 30. Tentukan nilai suku banyak saat x = 

 

Jawab :

Seandainya kita menggunakan Horner, tentunya masih sangat sulit. Untuk itu ingat penguraian binom pangkat 3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Maka

(x + 2)3 = x3 + 3x2.2 + 3x.22 + 23

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

x3 + 6x2 + 12x = (x + 2)3 – 8

 

Sekarang kita kembali ke F(x)

F(x) = (x3 + 6x2 + 12x) + 30

F(x) = (x + 2)3 – 8  + 30

F(x) = (x + 2)3 + 22

Maka

 

 

 

 

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik

 

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax3 + bx2 + cx + d = 0 dengan a tidak boleh nol. Persamaan ini akan memiliki 3 akar, yaitu x1, x2, dan x3. Ketiga akar ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

 

x1 + x2 + x3  = – b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = – d/a

 

Sifat-sifat ini yang sering diberi nama teorema vieta

Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

 

Contoh Soal 1

Persamaan 2x3 – 8x2 + 6x – 9 = 0 memiliki akar-akar p, q dan r. Tentukan nilai dari

a. p2qr + pq2r + pqr2

b.p2q2r + p2qr2 + pq2r2

c.p2 + q2 + r2

d.

e.

f.p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3

g.p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3

 

Jawab :

a = 2    b = – 8    c = 6    d = – 9

p + q + r = – b/a = 8/2 = 4

pq + pr + qr = c/a = 6/2 = 3

pqr = –d/a = 9/2

 

poin a

p2qr + pq2r + pqr2

= pqr(p + q + r) = 9/2.(4) = 18

 

poin b

p2q2r + p2qr2 + pq2r2

= pqr(pq + pr + qr)

= (9/2)(3) = 27/2 = 13,5

 

poin c

p2 + q2 + r2

=(p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr)

= 42 – 2(3) = 16 – 6 = 10

 

poin d

 

poin e

 

poin f

p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3 = p2q2r2 (p + q + r)

.                               = (pqr)2 (p + q + r) = (9/2)2 (4) = 81

 

poin g

p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3 = p2q2r2 (pq + pr + qr)

.                             = (pqr)2 (pq + pr + qr) = (9/2)2 (3) = 243/4

 

Contoh soal 2 :

Akar-akar persamaan kubik x3 – 6x2 + 7x + 3 = 0 adalah k, m, dan n. Tentukan nilai dari (k – 2)(m – 2)(n – 2) = …

 

Jawab :

k + m + n = –b/a = 6

km + kn + mn = c/a = 7

kmn =  –d/a = –3

 

(k – 2)(m – 2)(n – 2)

= (k – 2)(mn – 2m – 2n + 4)

= (k – 2)(mn – 2(m + n) + 4)

= kmn – 2k(m + n) + 4k – 2mn + 4(m + n) – 8

= kmn – 2km –2kn + 4k – 2mn + 4m + 4n – 8

= kmn – 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) – 8

=  –3 – 2(7) + 4(6) – 8

= –3 – 14 + 24 – 8 = –1

 

Contoh Soal 3 :

Salah satu akar persamaan x3 – 8x2 + 2x + k = 0 adalah 3. Jumlah kedua akar yang lain adalah ….

Jawab :

x1 = 3 maka x2 + x3 = ….

 

x1 + x2 + x3 =  – b/a = 8

3 + x2 + x3 = 8

x2 + x3 = 5

 

Contoh Soal 4 :

Agar persamaan x3 – x2  – 16x + 2k – 30  = 0 memiliki akar kembar dan bernilai bulat maka nilai k sama dengan

 

Jawab :

Karena kembar, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m     x2 = n   dan x3 = n

x1 + x2 + x3 = –b/a = 1

m + n + n = 1

m = 1 – 2n

 

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –16

mn + mn + n2 = –16

2mn + n2 = –16

2(1 – 2n)n + n2 = –16

2n – 4n2 + n2 = –16

–3n2 + 2n + 16 = 0

3n2 – 2n – 16 = 0

(n + 2)(3n – 8) = 0

n = –2 atau n = 8/3

karena akar bernilai bulat maka n = –2

m = 1 – 2n = 1 + 4 = 5

 

x1.x2.x3 = –d/a = 2k – 30

mnn = –(2k – 30)

5.( –2)( –2) = –2k + 30

20 = –2k + 30

2k = 10

k = 5

 

Contoh Soal 5 :

Agar akar-akar persamaan kubik x3 – 12 x2 + (5t + 4)x – 48 = 0 membentuk daret aritmetika maka nilai t adalah ….

 

Jawab :

Karena deret aritmetika, maka akar-akar bisa dimisalkan

x1 = m      x2 = m + n      x3 = m + 2n

x1 + x2 + x3 =  – b/a = 12

m + m + n + m + 2n = 12

3m + 3n = 12

m + n = 4

m = 4 – n

 

x1x2x3 = –d/a = 48

m(m+n)(m + 2n) = 48

(4 – n)( 4 – n + n)( 4 – n + 2n) = 48

(4 – n).4.( 4 + n) = 48

(4 – n)(4 + n) = 12

16 – n2 = 12

16 – 12 = n2

n2 = 4

n = 2 atau n = –2

 

Untuk n = 2 maka

m = 4 – n = 4 – 2 = 2

x1 = m = 2     x2 = m + n = 0     x3 = m + 2n = –2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

2.0 + 2(–2) + 0.( –2) = 5t + 4

–4 = 5t + 4

5t = –8 maka t = –1,6

 

Untuk n = –2

m = 4 – n = 4 + 2 = 6

x1 = m = 6     x2 = m + n = 4     x3 = m + 2n = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4

6.4 + 6.2 + 4.2 = 5t + 4

24 + 12 + 8 = 5t + 4

44 = 5t + 4

40 = 5t

t = 8

 

Contoh Soal 6 :  

Agar akar-akar persamaan kubik x3 – 21x2 + (h + 3)x – 216 = 0 membentuk daret geometri maka nilai h adalah ….

 

Jawab :

Karena membentuk deret geometri maka bisa dimisalkan

x1 = p    x2 = pr     x3 = pr2

x1.x2.x3 = –d/a = 216

p.pr.pr2 = 216

p3r3 = 216

(pr)3 = 63

pr = 6

p = 6/r

 

x1 + x2 + x3 = –b/a = 21

p + pr + pr2 = 21

6/r + (6/r)r + (6/r)r2 = 21

6/r + 6 + 6r = 21

Jika kedua ruas dikali r maka

6 + 6r + 6r2 = 21r

6r2 – 15r + 6 = 0

Jika kedua ruas dibagi 3 mala

2r2 – 5r + 2 = 0

(r – 2 ) (2r – 1) = 0

r = 2 atau r = ½

 

Untuk r = 2 maka p = 6/r = 3

x1 = p = 3    x2 = pr = 6     x3 = pr2 = 12

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

3.6 + 3.12 + 6.12 = h + 3

18 + 36 + 72 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

Untuk r = ½ maka p = 6/(½) = 12

x1 = p = 12    x2 = pr = 6     x3 = pr2 = 3

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3

12.6 + 12.3 + 6.3 = h + 3

72 + 36 + 18 = h + 3

126 = h + 3

h = 123

 

 

Contoh Soal 7 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x3 – 6x2 + 5px – 2 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akar persamaan 2x3 – 6x2 + 2px + 9 = 0. Maka nilai m sama dengan …

 

Jawab :

Misalkan akar-akar persamaan 3x3 – 6x2 + 10x – p = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 = – b/a = 6/3 = 2

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5p/3

x1x2x3 = – d/a = 2/3

Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah

 

Misalkan akar-akar persamaan 2x3 – 6x2 + 2px + 9 = 0 adalah p, q, r

p + q + r =  – b/a = 6/2 = 3

pq + pr + qr = c/a = 2p/2 = p

pqr = –d/a = –9/2

Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr) = 9 – 2p

 

Jumlah kebalikan akar = jumlah kuadrat akar

5p = 18 – 4p

9p = 18

p = 2

 

Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan  x3 – 5x2 – 4x – 3 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka nilai dari

a.x13 + x23 + x33

b.x14 + x24 + x34

 

Jawab :

x1 + x2 + x3 = – b/a = 5

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –4

x1x2x3 = – d/a = 3

x12 + x22 + x32 = (x1+x2+x3)2 – 2(x1x2+x1x3+x2x3) = 25 + 8 = 33

 

Persamaan polinom bisa kita ubah sebagai berikut

x3 = 5x2 + 4x + 3

nilai x ini bisa kita ganti dengan x1, x2, dan x3, sehingga

x13 = 5x12 + 4x1 + 3

x23 = 5x22 + 4x2 + 3

x33 = 5x32 + 4x3 + 3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x13 + x23 + x33 = 5(x12 + x22 + x32) + 4(x1 + x2 + x3 ) + 9

= 5(33) + 4(5) + 9 = 165 + 20 + 9 = 194

 

Sekarang kita tentukan nilai x14 + x24 + x34

x3 = 5x2 + 4x + 3

Jika dikali dengan x maka

x4 = 5x3 + 4x2 + 3x

Jika x kita ganti dengan x1, x2, dan x3, maka

x14 = 5x13 + 4x12 + 3x1

x24 = 5x23 + 4x22 + 3x2

x34 = 5x33 + 4x32 + 3x3

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

x14 + x24 + x34 = 5(x13 + x23 + x33) + 4(x12 + x22 + x32) + 3(x1 + x2 + x3)

= 5(194) + 4(33) + 3(5)

= 970 + 132 + 15  = 1117

 

Contoh soal 8

Persamaan polinom x3 –x2 + x – 1 = 0 adalah p, q, dan r,  maka nilai dari p102 + q102 + r102 = …

 

Jawab :

p + q + r =  – b/a = 1

pq + pr + qr = c/a = 1

pqr = –d/a = 1

p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 – 2(pq + pr + qr) = 1 – 2 = –1

 

Persamaan polinom bisa kita tulis menjadi

x3 = x2 – x + 1 ………………………………………..(1)

Jika persamaan (1) dikali dengan x maka

x4 = x3 – x2 + x ……………………………………..(2)

subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka

x4 = (x2 – x + 1) – x2 + x

x4 = 1

maka

x100 = (x4)25 = 125 = 1

x100 = 1

Jika kedua ruas  dikali dengan x2 maka

x102 = x2  ……………………………………………………….(3)

Nilai x pada persamaan (3) bisa diganti dengan akar-akarnya, yaitu p, q, dan r sehingga

p102 = p2

q102 = q2

r102 = r2

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka

P102 + q102 + r102 = p2 + q2 + r2 = –1