Archive for Logaritma

Materi Logaritma SMA

Materi logaritma SMA cenderung hanya memberikan sifat-sifat logaritma dan pembahasan soal-soal. Jarang ada yang membuktikan semua rumusnya. Melalui tulisan ini saya akan membuktikan semua rumus-rumusnya

 

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara definisi logaritma dinyatakan sebagai berikut

Jika ab = c maka b = alogc

a disebut basis

c disebut numerus

c > 0

0 < a < 1 atau a > 1

Sifat 1 :

Jika ab = c ………………………(1)

maka b = alogc …………………(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka

alog ab = b

 

Sifat 2

Misalkan

ax = b maka x = alog b

ay = cmaka y = alog c

Jika dikaliakan maka

ax.ay = bc

sehingga ax+y = bc

jadi x + y = alog bc

Dengan mengganti x dan y maka diperoleh

alog b + alog c = alog bc

Sekarang kita lakukan pembagian

ax/ay = b/c

ax – y = b/c

x-y = alog bc

sekarang kita ganti x dan y nya

alog b – alog c = alog b/c

 

SIfat 3

alog b + alog c = alog bc

alog b + alog b = alog b2

2alog b  = alog b2

alog b2 = 2alog b

Dengan mudah akan kita buktikan bahwa

alog bn = nalog b

 

Sifat 4

misalkan alog b = p

maka b = ap

Jika kedua ruas kita beri clog maka

clog b = clog ap

dengan menggunakan sifat 2 maka

clog b = p.clog a

Jadi

Dengan mengganti p maka

Jika kita pilih c = 10 maka basis tidak usah ditulis, sehingga

 

Sifat 5

 

Dengan bantuan sifat 3 dan 4 maka

Jadi :

 

Sifat 6

Dengan memakai sifat 4 maka

Sehingga

 

Sifat 7 :

Kita pakai sifat 4 lagi

Jadi :

 

Sifat 7 :

Jika ac = b  ………………………….(1)

maka c = alog b ……………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan 2 ke persamaan (1) diperoleh

 

 

Sifat 8 :

Jika kedua ruas diberi blog maka

Pangkat pada numerus bisa turun sehingga

Dengan memakai sifat komutatif maka

Bentuk ini bisa kita ubah menjadi

Jadi :

Dengan demikian

 

Logaritma Natural

logaritma natural (disingkat ln)  adalah logaritma yang memiliki bilangan pokok e

dengan e = 2,718281828459…..

Jadi

ln x = elog x

Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma juga berlaku pada logaritma natural

1. ln a + ln b = ln ab

2. ln a – ln b = ln (a/b)

3. ln bn = n ln b

4.alog b = (ln b)/(ln a)

5.eln a = a

 

Turunan fungsi logaritma

y = ln x maka y’ = 1/x

y = alog x maka y’ = 1/(x ln a)

y = ex maka y’ = ex

y = ax maka y’ = ax ln a