Archive for Limit

Limit Dengan Deret Maclaurin

Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan

Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.

Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.

Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga

sin x ≈ x

cos x ≈ 1

tan x ≈ x

Jika x kita ganti dengan 2x maka

sin 2x ≈ 2x

cos 2x ≈ 1

tan 2x ≈ 2x

Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka

sin ax ≈ ax

cos ax ≈ 1

tan ax ≈ ax

Bagaimana jika adabentuk 1 – cos x ?

untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 – cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 – ½x2 .

Sehingga

1 – cos x ≈ 1 – (1 – ½x2) = 1 – 1 + ½x2= ½x2

Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?

Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku

tan x – sin x ≈ x + ⅓ x3 – (x – ⅙ x3)

= x + ⅓ x3 – x + ⅙ x3 = ½ x3

 

Contoh soal 1 :

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

  

Jawab :

  

  

 

 

Contoh Soal 2 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 3 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 4 :

 

Jawab :

Karena 1 – cos x ≈  ½x2

Maka 1 – cos 4x ≈  ½(4x)2

=½ .16x2 = 8x2

sehingga

  

 

 

 

Limit Bilangan Natural

Bilangan natural (e) memiliki besar

e = 2,71828182845904523536028747135……

Bilangan ini bisa diperoleh dari

Akan tetapi, sebenarnya bilangan natural didefinisikan sebagai

  

Selanjutnya kita lihat soal-soal yang berkaitan dengan definisi e di atas

 

Contoh Soal 1 :

 

Jawab :

Kita misalkan  sehingga x = 5y

karena x –> ~ maka y –> ~

 

 

 

Contoh Soal 2 :

   

Jawab :

misal 2x = 1/y maka x = 1/(2y)

karena y = 1/(2x) maka ketika x –> 0 menyebabkan y –> ~

 

  

  

 

Contoh Soal 3 :

Jawab :

 

   

  

 

Misalkan 

3y = x + 1

sehingga

Karena x –> ~ maka y —> ~

Karena 3y = x + 1 maka x = 3y – 1

Sehingga soal limit menjadi

  

 

 

  

 

 

Beberapa artikel yang berkaitan dengan limit

antara mendekati nol dan tak hingga
limit akar
limit aljabar
limit bentuk akar
limit dengan subtitusi
limit memakai eksponen
limit mendekati tak hingga
limit sin x/x dengan x mendekati 0
limit trigonometri
limit trigonometri tidak mendekati nol
limit yang mengalami perputaran