Archive for Fungsi Kuadrat

Soal-Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Berikut ini kami sajikan soal-soal fungsi kuadrat yang jarang ditemukan. Mungkin beberapa siswa jika menemui soal ini akan kesulitan mengerjakannya. Untuk itu soal-soal kami sajikan beserta pembahasannya.

 

Contoh soal 1 :

Parabola y = x2 + 2ax + 8 dan garis y = 4mx + 3c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah

 

Jawab :

Perhatikan gambar berikut

parabola dan garis

 

Untuk mendapatkan x1 dan x2 kita tinggal memotongkan parabola dan garis

x2 + 2ax + 8 = 4mx + 3c

x2 + (2a  4m) x + 8  3c = 0

dari persamaan ini kita peroleh x1 dan x2 sehingga

Karena xc berada di tengah tengah x1 dan x2 maka

(xc, yc) terletak pada garis y = 4mx + 3c sehingga bisa disubtitusikan ke persamaan garis ini

yc = 4mxc + 3c

yc = 2ma + 4m2 + 3c

 

 

Contoh soal 2 :

Diketahui garis melalui titik O (0,0) dan memotong parabola y = x2 – 11x + 18 di titik A dan B. Jika OA = AB, maka himpunan persamaan garis OB adalah

(A) { y = 0, y = 18x}

(B) { y = 2x, y = 10x}

(C) {y = – 2x, y =  – 18x}

(D) { y = 10x , y = – 20x}

(E) { y = –2x , y = –20x}

 

Jawab :

Pertama kita gambar dulu parabola

Titik potong dengan sumbu y adalah

x = 0 maka y = 0 – 0 + 18 = 18

 

Titik potong dengan sumbu x adalah

y = 0

x2 – 11x + 18 = 0

(x – 2)(x – 9) = 0

x = 2 atau x = 9

himpunan garis pada fungsi kuadrat

 

Perhatikan bahwa OA = AB

Dengan O(0, 0), A(x1, y1) dan B(x2, y2)

Berarti A di tengah-tengah O dan B

Maka titik yang di tengah-tengah bisa diperoleh dari rata-ratanya

xA = (xo + xB)/2

x1 = (0 + x2)/2

maka x2 = 2x1 ……………………………………..(1)

 

Sementara persamaan garis OM bisa dinyatakan dengan

y – yo = m(x – xo)

(xo, yo) merupakan titik O sehingga (xo, yo) = (0, 0)

y – 0 = m(x – 0)

y = mx …………………………………………………(2)

Garis ini kita potongkan dengan parabola y = x2 – 11x + 18

x2 – 11x + 18 = mx

x2 – (m + 11)x + 18 = 0

x1.x2 = c/a = 18

dengan mensubtitusikan persamaan (1) maka

x1.2x1 = 18

2x12 = 18

x12 = 9

x1 = ±3

 

Untuk x1 = 3

Maka x2 = 2x1 = 6

x1 + x2 =  – b/a = m + 11

3 + 6 = m + 11

m = –2

dengan menggunakan persamaan (2) maka

y = – 2x

 

Untuk x1 = –3

Maka x2 = 2x1 = –6

Your ads will be inserted here by

Easy Plugin for AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot.

x1 + x2 =  – b/a = m + 11

–3 – 6 = m + 11

m = –20

dengan menggunakan persamaan (2) maka

y = – 20x

 

Jadi himpunan persamaan garis OB adalah { y = –2x , y = –20x}

 

 Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dari parabola y = x2 – 6x + 20 dan y = – x2 + 8x – 17

 

Jawab :

Garis singgung pesekutuan, artinya garis ini menyinggung parabola pertama dan kedua

Misal persamaan garisnya adalah y = mx + n

Garis ini kita subtitusi dengan parabola pertama

x2 – 6x + 20 = mx + n

x2 – (m + 6)x + 20 – n = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(m + 6)2 – 4.1.(20 – n) = 0

m2 + 12m + 36 – 80 + 4n = 0

m2 + 12m + 4n – 44  = 0 ………………………..(1)

 

Selanjutnya persamaan garis jugakita subtitusi dengan parabola kedua

mx + n = – x2 + 8x – 17

x2 + (m – 8)x + n + 17 = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b2 – 4ac = 0

(m – 8)2 – 4.1.(n + 17) = 0

m2 – 16m + 64 – 4n – 68 = 0

m2 – 16m – 4n – 4 = 0 ……………………..(2)

 

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

m2 + 12m + 4n – 44  = 0

m2 – 16m – 4n – 4 = 0        +

2m2 – 4m – 48 = 0

m2 – 2m – 24 = 0

(m – 6)(m + 4) = 0

m = 6 atau m = – 4

 

Untuk m = 6

m2 + 12m + 4n – 44  = 0

36 + 72 + 4n – 44 = 0

4n = – 64

n = – 16

Jadi persamaan garisnya y = 6x – 16

 

Untuk m = – 4

m2 + 12m + 4n – 44  = 0

16 – 48 + 4n – 44 = 0

4n = 76

n = 19

Jadi persamaan garisnya y = – 4x + 19

 

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat

Pergeseran Fungsi Kuadrat

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat

 

 

 

 

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Fungsi kuadrat memiliki f(x) = ax2 + bx + c memiliki derajat kecekungan, yaitu nilai mutlak a. Oleh karena itu a≠ 0, karena jika a = 0 maka grafik tidak memiliki kecekungan.

Perhatikan, apa beda grafik y = x2, y = 2x2, dan y = 3x2. Untuk lebih mudahnya kita plot dulu dengan tabel

tabel fungsi kuadrat

Jika hasil dari tabel ini digambar maka akan diperoleh gambar sebagai berikut

Grafik fungsi kuadrat

Nampak bahwa ketika a = 3 grafik paling cekung (warna biru). Grafik yang kecekunganny paling rendah adalah ketika a = 1 (warna hitam). Hal ini nampak jelas, bahwa nilai a menentukan kecekungan grafik.

Ketiga grafik di atas memiliki nilai a > 0, sehingga ketiganya cekung ke atas, atau sering dikatakan parabola membuka ke atas. Seandainya a < 0 maka parabola akan membuka ke bawah.

Perhatikan ketiga grafik berikut, yaitu y = –x2, y = –2x2, dan y = –3x2.

Grafik fungsi kuadrat negatif

Nampak bahwa tingkat kecekungan dari yang paling tinggi ke yang paling rendah dialami oleh a sama dengan –3, kemudian –2 dan terakhir –1. Hanya saja kecekungan di sini arahnya ke bawah. Oleh karena itu derajat kecekungan bukan ditentukan oleh a, tetapi |a|.

 

Untuk mengetahui lebih lanjut tentang kecekungan, sekarang kita gambar grafik

y = x2 – 4x + 3

y = 2x2 – 8x + 6

y = 3x2 – 12x + 9

Ketiga grafik cekung ke atas dan memiliki titik potong sumbu x di titik yang sama. Perhatikan langkah berikut,

x2 – 4x + 3 = 0           2x2 – 8x + 6=0          3x2 – 12x + 9= 0

x2 – 4x + 3 = 0           2(x2 – 4x + 3) = 0      3(x2 – 4x + 3)  = 0

(x–1)(x–3) = 0            2(x–1)(x–3) = 0          3(x–1)(x–3) = 0

x = 1 atau x = 3          x = 1 atau x = 3         x = 1 atau x = 3

Sementara titik potong sumbu y diperoleh dengan mensubtitusikan x = 0 sehingga diperoleh y = 3, y = 6, dan y = 9. Jadi, jika digambar diperoleh grafik sebagai berikut

Kecekungan grafik fungsi kuadrat

Nah, saya kira setelah membaca tulisan ini anda menjadi paham tentang tingkat kecekungan parabola. Silakan pelajari tulisan-tulisan saya yang lain

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat

Pergeseran Fungsi Kuadrat

Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat