Akar-Akar Rasional Persamaan Kuadrat

Bilangan rasional ada 2 jenis, yaitu bulat dan pecahan. Otomatis, jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar rasional maka persamaan memiliki akar-akar bulat atau pecahan, sehingga mudah kita faktorkan.

Bentuk umum penyelesaian persamaan kuadrat adalah

                        D = b2 -4ac

Mengingat Diskriminan (D) berada di dalam akar, maka persamaan akan memiliki akar-akar rasional jika Diskriminan berupa bilangan kuadrat

 

Contoh-contoh berikut memiliki akar-akar rasional

x2 + 7x + 12 = 0              D = 72 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1 = 12

x2 – 2x – 15 = 0                 D = (-2)2 – 4.1(-15) = 4 + 60 = 64 = 82

15x2 – 23x + 8 = 0            D = (-23)2 – 4.15.8 = 529 – 480 = 49 = 72

 

Contoh-contoh berikut memiliki akar-akar irasional

x2 – 5x + 2 = 0                D = (-5)2 – 4.1.2 = 25 – 8 = 17

2x2 – 7x + 1 = 0              D = (-7)2 – 4.2.1 = 49 – 8 = 41

3x2 + 9x – 5 = 0              D = 92 – 4.3.(-5) = 49 + 60 = 109

 

Jadi, syarat agar persamaan kuadrat memiliki akar-akar rasional adalah persamaan bisa dinyatakan dengan kondisi D = k2  dengan k anggota bilangan rasional, sedangkan a, b, c juga rasional.

 

Contoh soal 1 :

Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut memiliki akar-akar rasional atau tidak.

1.x2 – 8x + 7 = 0

2.x2 – 6x + 7 = 0

3.8x2 + 14x – 15 = 0

4.x2 – 2x + 15 = 0

5. x2 – 6tx + 5t2  = 0 , t bilangan rasional

6. x2 + (m+ 2)x +  m + 1  = 0 ; m bilangan rasional

7. x2  – (p + 5)x + 3p + 6 = 0; p bilangan rasional

 

Jawab :

1.x2 – 8x + 7 = 0

.  D = b2 – 4ac = (-8)2 – 4.1.7 = 64 – 28 = 36 = 62

.  Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional

2. x2 – 6x + 7 = 0

.  D = (-6)2 – 4.1.7 = 36 – 28 = 8

.  D bukan bilangan kuadrat, sehingga persamaan ini tidak memiliki akar-akar rasional

3. 8x2 + 14x – 15 = 0

.  D = 142 – 4.8.(-15) = 196 + 480 = 676 = 262

.  Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional

4. x2 – 2x + 15 = 0

.  D = (-2)2 – 4.1.15 = 4 – 60 = -56

.  Karena D < 0 maka persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real

5. x2 – 6tx + 5t2  = 0 , t bilangan rasional

.  D = (-6t)2 – 4.1.5t2 = 36t2 – 20t2 = 16t2 = (4t)2

.  Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional

6. x2 + (m+ 2)x +  m + 1  = 0 ; m bilangan rasional

.  D = (m + 2)2 – 4.1.(m + 1) = m2 + 4m + 4 – 4m – 4 = m2

.  Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional

7. x2  – (p + 5)x + 3p + 6 = 0; p bilangan rasional

.  D = (p+5)2 – 4.1.(3p+6) = p2 +10p +25 -12p -24 = p2 -2p +1 = (p – 1)2

 

Contoh Soal 2 :

Agar persamaan x2 + (n + 4)x + 2n + m = 0 memiliki akar-akar rasional untuk setiap n rasional maka nilai m adalah …

Jawab :

D = b2 – 4ac

D = (n + 4)2 – 4.1.(2n + m)

D = n2 + 8n + 16 – 8n – 4m

D = n2 + 16  – 4m

Agar akar-akar rasional maka

D = n2

sehingga 16  – 4m = 0

16 = 4m maka m = 4

 

Contoh soal 3 :

Tentukan nilai p agar persamaan

x2 – (n + 6)x + n + p = 0

memiliki akar-akar rasional untuk setiap n rasional

 

Jawab :

D = b2 – 4ac

D = (n + 6)2  – 4.1.(n + p)

D = n2 + 12n + 36 – 4n – 4p

D = n2 + 8n + 36 – 4p

D = n2 + 8n + 16 + 20 – 4p

D = (n + 4)2 + 20 – 4p

Agar D = k2  maka kita pilih D = (n + 4)2  sehingga

20 – 4p = 0

20 = 4p

p = 5

 

Contoh Soal 4 :

Persamaan x2  – (t – 4) x + t – 3m + 1 = 0 memiliki akar-akar rasional untuk setiap t rasional. Akar-akar rasional tersebut adalah …

 

Jawab :

D = b2 – 4ac

D = (t – 4)2 – 4.1.(t – 3m + 1)

D = t2 – 8t + 16 – 4t + 12m – 4

D = t2 – 12t + 12 + 12m

D = t2 – 12t + 36 – 24 + 12m

D = (t – 6)2 – 24 + 12m

Agar akar-akar rasional maka

-24 + 12m = 0

12m = 24

m =2

Persamaan menjadi :

x2  – (t – 4) x + t – 5 = 0

Untuk mendapatkan akar-akarnya kita bisa menggunakan rumus ABC

 

Contoh soal 5

Jika akar-akar persamaan kuadrat  x2 + 6x + m – 6 = 0 bilangan rasional dan m bilangan cacah, maka nilai m adalah

 

Jawab :

D = 62 – 4.1.(m – 6)

D = 36 – 4m + 24

D = 60 – 4m

Jika dilihat bentuknya, D pasti bilangan kuadrat genap yang nilainya di bawah 60, sehingga nilai D yang mungkin adalah 36, 16, 4, dan 0

 

Jika D = 36

60 – 4m = 36

4m = 24

m = 6

 

Jika D =16

60 – 4m = 16

4m = 44

m = 11

 

Jika D = 4

60 – 4m = 4

4m = 56

m = 14

 

Jika D = 0

60 – 4m = 0

m = 15

 

Jadi, nilai m cacah yang memenuhi adalah 6, 11, 14, dan 15

 

Contoh soal 6

Persamaan

mempunyai akar-akar rasional untuk setiap t rasional. Akar-akar rasional persamaan tersebut adalah …

 

Jawab :

Bentuk  bisa diubah menjadi 

Agar D menjadi bilangan kuadrat maka

-8n + 40 = 0

-8n = -40

n = 5

Selanjutnya persamaan kuadrat menjadi

Persamaan ini bisa difaktorkan menjadi

x = -5 atau x = 2/t

 

 

 

akar akar berlainan tanda

akar akar negatif persamaan kuadrat

akar akar positif persamaan kuadrat

akar akar saling berkebalikan

akar akar saling berlawanan

penyelesaian persamaan kuadrat

persamaan kuadrat matematika sma

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

akar akar persekutuan

Comments are closed.