Akar-Akar Persekutuan

Istilah akar-akar persekutuan sama artinya dengan akar-akar berserikat atau akar-akar yang sama. Akar yang sama di sini tidak disebut akar kembar, karena melibatkan dua persamaan kuadrat.

Misalnya :

  • Persamaan x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x – 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan yaitu x= 3
  • Persamaan x2 – 7x + 12 =0 dan 2x2 – 14x + 24 = 0 memiliki dua buah akar persekutuan, yaitu x=3 dan x = 4

Persamaan kuadrat memiliki 2 akar. Jika dua atau lebih persamaan kuadrat yang memiliki dua akar persekutuan, berarti persamaan-persamaan tersebut adalah persamaan yang sama. Atau bisa dikatakan salah satu persamaan adalah kelipatan persamaan yang lain.

 

Contoh soal 1

Agar persamaan x2 + nx – 6 = 0 dan 5x2 +10x + m + 3 = 0 memiliki dua akar persekutuan maka nilai m + n = …

Jawab :

kita lihat koefisien x2. Supaya kedua koefisien sama maka persamaan pertama dikali 5

5x2 + 5nx – 30 = 0
5x2 +10x + m + 3 = 0

maka
5n = 10 → n = 2
m + 3 = -30 → m = -33
m + n = -31

 

Contoh soal 2

Persamaan 2x2 + 8x – 2m = 0 dan  mx2 + 12x – k – 4 = 0 memiliki 2 akar berserikat. Nilai k yang memenuhi adalah ….

Jawab :

Perhatikan koefisien x. Agar sama maka persamaan pertama dikali 3 dan persamaan kedua dikali dengan 2, sehingga

6x2 + 24x – 6m = 0
2mx2 + 24x – 2k – 8 = 0

2m = 6 maka m = 3
-2k – 8 = -6m
-2k – 8 = -18
-2k = -10
k = 5

 

Contoh Soal 3

Persamaan x2 -3x – 4 = 0 dan x2 – 4x -p + 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Nilai p sama dengan …

Jawab :

Persamaan pertama sangat mudah untuk dicari akarnya

x2 -3x – 4 = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
x = 4 atau x = -1

Karena akar persekutuan hanya sebuah, maka kita tidak tahu akar yang mana yang menjadi akar persekutuan

Jika x = 4 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 – 4x -p + 3 = 0, sehingga

42 – 4.4 -p + 3 = 0
16 -16 – p + 3 = 0
p = 3

Jika x = -1 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 – 4x -p + 3 = 0, sehingga

(-1)2 – 4(-1) -p + 3 = 0
1 + 4 – p + 3 = 0
p = 8

Jadi, p = 3 atau p = 8

 

Cara lain :

Perhatikan bahwa jika kita mengeliminasi 2 persamaan kuadrat yang memiliki sebuah akar persekutuan maka akan diperoleh akar persekutuan berikut

midalnya kita eliminasi x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x – 3 = 0

x2 – 5x + 6 = 0
x2 – 2x – 3 = 0  _
-3x + 9 = 0
x = 3

Nilai x = 3 inilah akar persekutuannya

Sekarang kita kembali ke contoh soal  3

x2 – 3x – 4 = 0
x2 – 4x – p + 3 = 0  _
x + p – 7 = 0
x = -P + 7

selanjutnya nilai x ini kita substitusikan ke salah satu persamaan

x2 -3x – 4 = 0
(-p+7)2 -3(-p+7) – 4 = 0
p2 – 14p + 49 + 3p – 21 – 4 = 0
p2 -11p + 24 = 0
(p -3)(p-8) = 0
p = 3 atau p = 8

 

Contoh Soal 4

Jika persamaan x2 – 5x + 2p = 0 dan x2 – 7x + p + 10 = 0 persamaan memiliki satu akar persekutuan maka nilai m adalah

Jawab :

Karena tidak ada akar yang bisa dicari maka kita langsung memakai cara kedua, yaitu eliminasi

x2 – 5x + 2p = 0
x2 – 7x + p + 10 = 0
2x + p – 10 = 0
2x = -p + 10

sekarang nilai x ini kita substitusikan ke persamaan x2 – 5x + 2p = 0

Jika kedua ruas dikali 4 maka diperoleh

p2 – 20p + 100 + 10p – 100 + 8p = 0
p2 – 2p = 0
p(p – 2)=0
p = 0 atau p = 2

 

Contoh Soal 5

Tentukan nilai h agar bentuk

bisa disederhanakan

Jawab :

Bisa disederhanakan pembilang dan penyebut memiliki satu faktor yang sama. Ini artinya sama saja x2 – 7x + 3h = 0 dan x2 – 8x + h + 11 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Supaya lebih mudah langsung kita eliminasi saja

x2 – 7x + 3h = 0
x2 – 8x + h + 11 = 0  _
x + 2h – 11 = 0
x = -2h + 11

x2 – 7x + 3h = 0
(-2h+11)2 – 7(-2h + 11) + 3h = 0
4h2 – 44h + 121 + 14h – 77 + 3h = 0
4h2 – 27h + 44 = 0
(h – 4)(4h – 11) = 0
h = 4 atau h = 11/4

 

 

akar akar persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

penyelesaian persamaan kuadrat

persamaan kuadrat matematika sma

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar saling berlawanan

akar akar saling berkebalikan

akar akar negatif persamaan kuadrat

akar akar berlainan tanda

akar akar positif persamaan kuadrat

akar akar rasional persamaan kuadrat

 

Comments are closed.