Super Pakar Matematika - Part 95

Turunan Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma natural ditulis dalam bentuk

y = ln x

Jika fungsi ini diturunkan maka turunannya adalah

logaritma natural merupakan logaritma dengan bilangan pokok e

ln x = ^elog x

dengan e = 2,718281828459045……

Untuk menurunkan fungsi logaritma dengan bilangan pokok lain, bisa kita ubah dengan rumus

sehingga

Agar lebih jelas perhatikan contoh soal berikut

Contoh soal 1 :

f (x) = log x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 2 :

f (x) = ⁷log x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Kesimpulan

Contoh soal 3

f(x) = x ln x — x

Jawab :

u = x maka u’ = 1

v = ln x maka v’ = 1/x

Jadi

f(x) = u.v — x

maka

f ‘ (x) = u’v + uv’ — 1

f ‘ (x) = 1. ln x + x. 1/x — 1

f ‘ (x) = ln x + 1 — 1

f ‘ (x) = ln x

Teorema Rantai untuk fungsi logaritma

Contoh soal 4

f(x) = ln (x² + 4x) maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 5 :

f(x) = ln 6x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Cara I

Cara II

f(x) = ln 6x = ln 6 + ln x

Contoh soal 6 :

f(x) = ln cos x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 7 :

f(x) = ln sin x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 8 :

f(x) = ln sec x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 9 :

f(x) = ln csc x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 10 :

f(x) = ln tan x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 11 :

f(x) = ln cot x maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 12 :

f(x) = ln (sec x + tan x) maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 13 :

f(x) = ln (csc x + cot x) maka f ‘(x) = …

Jawab :

Contoh soal 14 :

maka f ‘(x) = …

Jawab :

Category: Turunan

Teorema Rantai

Jika kita memiliki fungsi f(x) = g(h(x)) maka belaku

atau

sehingga

f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

Kasimpulan

f(x) = g(h(x)) → f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

f(x) = g(h(k(x))) → f ‘(x) = g’ (h(k(x))). h'(k(x)).k'(x)

f(x) = g(h(k(m(x))))

→ f ‘(x) = g'(h(k(m(x)))).h'(k(m(x))).k'(m(x)).m'(x)

Konsekuensi

f(x) = hⁿ(x) maka f ‘(x) = nh^n-1(x).h'(x)

f(x) = sin h(x) maka f ‘(x) = cos h(x).h'(x)

f(x) = cos h(x) maka f'(x) = -sin h(x).h'(x)

f(x) = tan h(x) maka f ‘(x) = sec² h(x).h'(x)

f(x) = cot h(x) maka f ‘(x) = csc² h(x).h'(x)

f(x) = sec h(x) maka f ‘(x) = sec h(x).tan h(x) h'(x)

f(x) = csc h(x) maka f ‘(x) = csc h(x).cot h(x) h'(x)

Contoh soal 1 :

f(x) = (x³ — 4x² + 6x — 7)⁸ maka f ‘(x) = …

Jawab :

f ‘(x) = (x³ — 4x² + 6x — 7)⁷ m(3x² – 8x + 6)

Contoh soal 2 :

f(x) = sin⁹ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 9 sin⁸ x cos x

Contoh soal 3 :

f(x) = cos¹² x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 12 cos¹¹ x (-sin x) = — 12cos¹¹ x sin x

Contoh soal 4 :

f(x) = tan⁵ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 5 tan⁴ x sec² x

Contoh soal 5 :

f(x) = cot⁶ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 6 cot⁵ x (-csc² x) = – 6 cot⁵ x csc² x

Contoh soal 6 :

f(x) = sec⁷ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 7 sec⁶ x (sec x tan x) = 7 sec⁷ x tan x

Contoh soal 7 :

f(x) = csc⁸ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 8 csc⁷ x (-csc x cot x) = – 8 csc⁸ x cot x

Contoh soal 8 :

f(x) = sin (3x² — 5x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = cos (3x² — 5x) . (6x — 5) = (6x — 5)cos (3x² — 5x)

Contoh soal 9 :

f(x) = cos (x³ + 4x² – 9x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = — sin (x³ + 4x² – 9x) . (3x² + 8x — 9)

f ‘(x) = — (3x² + 8x — 9) sin (x³ + 4x² – 9x)

Contoh soal 10 :

f(x) = tan (x² + 9x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = sec² (x² + 9x) . (2x + 9)

f ‘(x) = (2x + 9) sec² (x² + 9x)

Contoh soal 11 :

f(x) = cot (7x — x²) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = — csc² (7x — x²) . (7 — 2x)

f ‘(x) = — (7 — 2x) csc² (7x — x²)

f ‘(x) = (2x — 7) csc² (7x — x²)

Contoh soal 12 :

f(x) = sec (x⁴– 3x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = sec (x⁴– 3x) tan (x⁴– 3x) . (4x³ – 3)

f ‘(x) = (4x³ – 3) sec (x⁴– 3x) tan (x⁴– 3x)

Contoh soal 13 :

f(x) = csc (x⁵– 7x²) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = – csc (x⁵– 7x²) cot (x⁵– 7x²) (5x⁴– 14x)

f ‘(x) = – (5x⁴– 14x) csc (x⁵– 7x²) cot (x⁵– 7x²)

Contoh soal 14 :

f(x) = sin⁵ (7x² – 6x) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 5 sin⁴ (7x² – 6x). cos (7x² – 6x) . (14x — 6)

f ‘(x) = 5 (14x — 6) sin⁴ (7x² – 6x). cos (7x² – 6x)

f ‘(x) = 10 (7x — 3) sin⁴ (7x² – 6x). cos (7x² – 6x)

Contoh soal 15 :

f(x) = cos⁸ (x³ – 8x) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 8 cos⁷ (x³ – 8x). [- sin (x³ – 8x)] . (3x² — 8)

f ‘(x) = — 8 (3x² — 8) cos⁷ (x³ – 8x). sin (x³ – 8x)

Contoh soal 16 :

f(x) = tan⁶ (2x⁴ – 3x + 7) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 6 tan⁵ (2x⁴ – 3x + 7). sec² (2x⁴ – 3x + 7) . (8x³ — 3)

f ‘(x) = 6 (8x³ — 3) tan⁵ (2x⁴ – 3x + 7). sec² (2x⁴ – 3x + 7)

Contoh soal 17 :

f(x) = cot⁴ (2x² + 6x — 1) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 4 cot³ (2x² + 6x — 1). [- csc² (2x² + 6x — 1)] . (4x + 6)

f ‘(x) = — 4(4x + 6) cot³ (2x² + 6x — 1). csc² (2x² + 6x — 1)

f ‘(x) = — 8(2x + 3) cot³ (2x² + 6x — 1). csc² (2x² + 6x — 1)

Contoh soal 18 :

f(x) = sec⁹ (x⁵ + 4x³) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 9 sec⁸ (x⁵ + 4x³). sec (x⁵ + 4x³) . tan (x⁵ + 4x³) (5x⁴ + 12x²)

f ‘(x) = 9 (5x⁴ + 12x²) sec⁹ (x⁵ + 4x³). tan (x⁵ + 4x³)

Contoh soal 19 :

f(x) = csc¹² (5x² – 4x³) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 12csc¹¹ (5x² – 4x³) .[- csc (5x² – 4x³)] cot (5x² – 4x³). (10x — 12x³)

f ‘(x) = — 12(10x — 12x³) csc¹² (5x² – 4x³) . cot (5x² – 4x³)

f ‘(x) = — 24(5x — 6x³) csc¹² (5x² – 4x³) . cot (5x² – 4x³)

f ‘(x) = 24(6x³ – 5x) csc¹² (5x² – 4x³) . cot (5x² – 4x³)

Contoh soal 20 :

f(x) = sin¹⁶ x maka f ‘ (x) = ..

(A) cos¹⁶ x

(B) 16 sin¹⁵ x

(C) 16 cos¹⁵ x

(D) 8 sin¹⁴ x sin 2x

(E) 8 sin¹⁴ x cos 2x

Jawab : D

Ingat : 2 sin x cos x = sin 2x

f ‘(x) = 16 sin¹⁵ x cos x

f ‘(x) = 16 sin¹⁴ x sin x cos x

f ‘(x) = 8 sin¹⁴ x (2 sin x cos x)

f ‘(x) = 8 sin¹⁴ x sin 2x

Contoh soal 21 :

f(x) = cos⁹ 4x maka f ‘ (x) = ..

(A) — sin⁹ 4x

(B) – 4 sin⁹ 4x

(C) 9 cos⁸ 4x

(D) 36cos⁸ 4x

(E) — 18cos⁷ 4x sin 8x

Jawab : E

f ‘(x) = 9 cos⁸ 4x . [- sin 4x] . 4

f ‘(x) = — 36 cos⁸ 4x . sin 4x

f ‘(x) = — 36 cos⁷ 4x . sin 4x cos 4x

f ‘(x) = — 18 cos⁷ 4x . 2 sin 4x cos 4x

f ‘(x) = — 18 cos⁷ 4x . sin 8x

Contoh soal 22 :

Jika f(x) = tan² x dan g(x) = sec² x buktikan bahwa f ‘ (x) = g'(x)

Jawab :

f(x) = tan² x

f ‘ (x) = 2 tan x sec² x

f’ (x) = 2 sec² x tan x

g(x) = sec² x

g’ (x) = 2sec x. sec x tan x

g’ (x) = 2 sec² x tan x

Jadi, terbukti bahwa f ‘(x) = g ‘(x)

Category: Turunan

« Masukan Terdahulu Entri Terbaru »