Integral Parsial Eksponen

Seperti kita ketahui, fungsi eksponen memiliki integral sebagai berikut

Sedangkan integral parsial memiliki rumus

Seperti pada integral aljabar ataupun integral trigonometri, pada integral eksponen seringkali kita jumpai bentuk-bentuk yang mengharuskan kita menggunakan rumus integral parsial

 

Contoh soal 1 :

Jawab :

u = x → du = dx

dv = ex dx → v = ex

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x ex dx = xex – ∫ex dx = xex — ex + c

 

Contoh soal 2 :

Jawab :

u = x2 → du = 2x dx

dv = ex dx → v = ex

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x2 ex dx = x2ex – ∫ex . 2x dx

. = x2ex — 2∫x ex + c

Dengan menggunakan hasil contoh soal 1 maka

∫ x2 ex dx = x2ex — 2(xex — ex) + c

∫ x2 ex dx = x2ex — 2xex + 2ex + c

 

Contoh soal 3 :

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = ex dx → v = ex

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x3 ex dx = x3ex – ∫ex . 3x2 dx

. = x3ex — 3∫x2 ex + c

Dengan menggunakan hasil contoh soal 2 maka

∫ x2 ex dx = x3ex — 3(x2ex — 2xex + 2ex) + c

∫ x2 ex dx = x2ex — 3x2ex + 6xex – 6ex+ c

Integral Tak Tentu

Pada Integral tak tentu, terdapat penambahan konstanta yang besarnya tidak tentu. Berbeda dengan integral tertentu yang ada batasnya. Pada integral ini kita tidak memberikan batas.

Untuk memperjelas adanya penambahan konstanta, marilah kita lihat ilustrasi berikut.

y = x5 maka y’ = 5x4

y = x5 + 6 maka y’ = 5x4

y = x5 – 100 maka y’ = 5x4

y = x5 + 2015 maka y’ = 5x4

Jika keempat proses ini dibalik jadilah integral, sehingga

Integral tak tentu

anehnya terdapat penambahan ataupun pengurangan dengan bilangan yang berbeda-beda. Bilangan ini sering kita tulis dengan c yang besarnya tidak tentu, sehingga

Integral tak tentu 2

Dengan demikian kita bisa menulis bentuk umum integral tak tentu aljabar, yaitu :

Integral tak tentu 3

Pada akhirnya setiap rumus integral selalu ada penambahan konstanta.

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. Integral tak tentu 3 n ≠ -1

4.integral ln

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec2 x = tan x + c

8. ∫ csc2 x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ ex dx = ex +c

 

Latihan Soal :

Integral 1

Integral 2

Integral 3

Pembahasan nomor 1 — 3

 

Integral 4

Integral 5

Integral 6

Integral 7

Pembahasan no 4 — 7

Integral 8

Integral 9

Integral 10

Integral 11

Integral 12

Integral 13

Pembahasan 8 — 13

Integral 14

Integral 15

Integral 16

Integral 17

Pembahasan nomor 14 — 17