Super Matematika

Seperti kita ketahui, fungsi eksponen memiliki integral sebagai berikut

Sedangkan integral parsial memiliki rumus

Seperti pada integral aljabar ataupun integral trigonometri, pada integral eksponen seringkali kita jumpai bentuk-bentuk yang mengharuskan kita menggunakan rumus integral parsial

Contoh soal 1 :

Jawab :

u = x → du = dx

dv = e^x dx → v = e^x

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x e^x dx = xe^x – ∫e^x dx = xe^x — e^x + c

Contoh soal 2 :

Jawab :

u = x² → du = 2x dx

dv = e^x dx → v = e^x

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x² e^x dx = x²e^x – ∫e^x . 2x dx

. = x²e^x — 2∫x e^x + c

Dengan menggunakan hasil contoh soal 1 maka

∫ x² e^x dx = x²e^x — 2(xe^x — e^x) + c

∫ x² e^x dx = x²e^x — 2xe^x + 2e^x + c

Contoh soal 3 :

Jawab :

u = x³ → du = 3x² dx

dv = e^x dx → v = e^x

∫ udv = uv — ∫ v du

∫ x³ e^x dx = x³e^x – ∫e^x . 3x² dx

. = x³e^x — 3∫x² e^x + c

Dengan menggunakan hasil contoh soal 2 maka

∫ x² e^x dx = x³e^x — 3(x²e^x — 2xe^x + 2e^x) + c

∫ x² e^x dx = x²e^x — 3x²e^x + 6xe^x – 6e^x+ c

Pada Integral tak tentu, terdapat penambahan konstanta yang besarnya tidak tentu. Berbeda dengan integral tertentu yang ada batasnya. Pada integral ini kita tidak memberikan batas.

Untuk memperjelas adanya penambahan konstanta, marilah kita lihat ilustrasi berikut.

y = x⁵ maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ + 6 maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ – 100 maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ + 2015 maka y’ = 5x⁴

Jika keempat proses ini dibalik jadilah integral, sehingga

anehnya terdapat penambahan ataupun pengurangan dengan bilangan yang berbeda-beda. Bilangan ini sering kita tulis dengan c yang besarnya tidak tentu, sehingga

Dengan demikian kita bisa menulis bentuk umum integral tak tentu aljabar, yaitu :

Pada akhirnya setiap rumus integral selalu ada penambahan konstanta.

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. n ≠ -1

4.

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec² x = tan x + c

8. ∫ csc² x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ e^x dx = e^x +c

Latihan Soal :

Pembahasan nomor 1 — 3

Pembahasan no 4 — 7

Pembahasan 8 — 13

Pembahasan nomor 14 — 17