Super Matematika

Dalam mengoperasikan bentuk aljabar, kita harus bisa menjumlahkan suku-suku yang sejenis. Suku-suku yang sejenis bisa kita jumlahkan secara langsung, sementara suku-suku yang tidak sejenis tidak bisa kita jumlahkan secara langsung.

 

Contoh soal 1 :

Jumlahkan 3a + 2b + 6c dengan 4a + b — 5c

Jawab :

(3a + 2b + 6c) + (4a + b — 5c)

= (3a + 4a) + (2b + b) + (6c — 5c)

= 7a + 3b + c

 

Contoh Soal 2 :

Jumlahkan x — 8y +4z dengan 3x + 7y — 6z

Jawab :

(x — 8y + 4z) + (3x + 7y — 6z)

= (x + 3x) + (–8y + 7y) + (4z — 6z)

= 4x — y — 2z

 

Contoh Soal 3 :

Jumlahkan m² + 7m — 5 dengan 3m² — 12m + 3

Jawab :

(m² + 7m — 5) + (3m² — 12m + 3)

= (m² + 3m² + (7m — 12m) + (–5 + 3)

= 3m² — 5m — 2

 

Contoh Soal 4 :

Jumlahkan a³ + 3a² — 7a + 9 dengan a³ — 5a² + 3a — 15

Jawab :

(a³ + 3a² — 7a + 9) + (a³ — 5a² + 3a — 15)

= (a³ + a³) + (3a² — 5a²) + (–7a + 3a) + (9 — 15)

= 2a³ — 2a² — 4a — 6

 

Contoh Soal 5 :

Jumlahkan a² + 3ab — 5b² dengan 3a² + 6ab + b²

Jawab :

(a² + 3ab — 5b²) + (3a² + 6ab + b²)

=(a² + 3a²) + (3ab + 6ab) + (–5b² + b²)

= 4a² + 9ab — 4b²

Kita tahu bahwa

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)

Untuk membuktikan kedua bentuk, cara paling mudahnya adalah dari ruas kanan kita bawa ke ruas kiri. Kita kalikan pemfaktoran yang di kanan

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b — ab² + b³

= a³ + b³

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² – b³

= a³ — b³

Tapi apakah para ilmuwan matematika menemukan rumus ini dari kanan ke kiri seperti bukti di atas ? Rasanya tidak begitu. Mereka justru dari kiri ke kanan. Sekarang bagaimana membuktikan dari kiri ke kanan.

Dengan menggunakan segitiga pascal kita bisa menguraikan (a + b)³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³

(a + b)³ = a³ + 3ab(a + b) + b³

(a + b)³ — 3ab(a + b) = a³+ b³

Jadi

a³ + b³ = (a + b)³ — 3ab(a + b)

a³ + b³ = (a + b)[(a + b)² — 3ab]

a³ + b³ = (a + b)[a² + 2ab + b² — 3ab]

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

Jadi untuk pemfaktoran a³ + b³ sudah bisa kita lakukan. Bagaimana dengan a³ – b³

Caranya , pada persamaan terakhir, gantilah b dengan –b

a³ + (–b)³ = (a — b)(a² — a(–b) + (–b)²)

bentuk ini bisa berubah menjadi

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)