Logaritma Natural

logaritma natural (disingkat ln) adalah logaritma yang memiliki bilangan pokok e

dengan e = 2,718281828459…..

Jadi

ln x = elog x

Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma juga berlaku pada logaritma natural

1. ln a + ln b = ln ab

2. ln a — ln b = ln (a/b)

3. ln bn = n ln b

4.alog b = (ln b)/(ln a)

5.eln a = a

 

Turunan fungsi logaritma

y = ln x maka y’ = 1/x

y = alog x maka y’ = 1/(x ln a)

y = ex maka y’ = ex

y = ax maka y’ = ax ln a

Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri merupakan pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri, baik sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan dan cosecan.

Ada 2 cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri

1. Metoda grafik

2. Metoda garis bilangan

 

Contoh 1:

Tentuka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x > 0 untuk 0o< x< 360o

 

Jawab :

Cara 1 : Metoda grafik

Sekarang kita gambar grafik y = sin x

Jika grafik di atas sumbu x berarti sin x > 0

Jika grafik di bawah sumbu x berarti sin x < 0

Artinya penyelesaian dari sin x> 0 adalah ketika grafik berada di aytas sumbu x, yaitu di daerah yang diarsir. Dengan demikian penyelesaiannya adalah

0o< x< 180o

Cara II : Metoda garis bilangan

sin x > 0

Pertama-tama ubah dulu menjadi persamaan :

sin x = 0

maka diperoleh

x1 = 0o x2 = 180o x3 = 360o

Langkah seterusnya kita gambar ketiga nilai x ini di garis bilangan

 

 

 

 

Langkah berikutnya kita buat tanda (+) atau (-) pada setiap ruas, caranya ambil sembarang nilai x , substitusikan ke dalam sin x

misalnya kita pilih x = 90o. Ketika kita substitusikan maka kita peroleh

sin x = sin 90o = 1

nilai 1 adalah (+)

karena 90o di antara 0o dan 180o maka daerah ruas antara 0o dan 180o adalah (+), selanjutnya ruas sebelahnya (-) , kemuadian (+) secara berselang-seling

 

 

 

 

karena pertidaksamaannya adalah sin x > 0 maka kita pilih daerah yang (+)

 

 

 

 

 

dengan demikian 0o < x< 180o atau x > 360o

 

 

 

 

akan tetapi karena permintaan soal adalah 0o< x< 360o maka diperoleh

0o< x< 180o

 

Contoh 2 :

Tentuka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2x > 0,5 untuk 0o< x< 360o

Jawab :

Cara 1 : Meoda grafik

Untuk menyelesaiakan pertiaksamaan cos 2x > 0,5 kita gambar grafik y = cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Setelah itu cari perpotongan grafik y = cos 2x dengan y = 0,5

cos 2x = 0,5

2x = 60o

x = 30o

Dengan memanfaatkan simetri pada grafik, maka diperoleh nilai x yang lain

x = 150o, x = 210o, dan x = 330o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

garis y = 0,5 adalah garis yang berwarna merah, jadi jika diinginkan cos 2x > 0,5 jawababnya adalah ketika grafik berada di atas garis merah

 

Dari gambar terlihat bahwa penyelesaiannya adalah pada daerah yang diarsir

Jadi

0o < x < 30o, 150o < x < 210o, 330o < x < 360o

 

Cara II : Meotda garis bilangan

Pertama kita selesaikan dulu persamaan

cos 2x = 0,5

cos 2x = cos 60o

2x =± 60o + n.360o

x = ± 30o + n.180o

Untuk x = 30o + n.180o

n = 0 maka x = 30o

n = 1 maka x = 210o

Untuk x = -30o + n.180o

n = 1 maka x = 150o

n = 2 maka x = 330o

Selanjutnya nilai x yang sudah kita dapat kita gambar di garis bilangan

 

 

 

 

 

Langkah berikutnya uabahlah bentuk pertidaksamaan sehingga ruas kanan menjadi nol

cos x — 0,5 > 0

selanjutnya ambil sembarang x yang tidak terdapat di garis bilangan, misalnya x = 0. Substitusikan nilai x ini ke dalam f(x) = cos x — 0,5

Jadi

f(0) = 1 — 0,5 = 0,5

Ternyata diperoleh hasil positif. Artinya ruas yang mengandung x = 0 (ras paling kiri) bernilai positif. Selanjutnya ruas sebelah kanannya berubah secara berselang seling

 

 

 

 

Karena yang diinginkan cos x — 0,5 > 0 maka kita pilih daerah yang positif

 

 

 

 

 

Hasil ini harus kita irisakan dengan 0o< x< 360o sehingga

 

 

 

 

Dari gambar bisa didapat

0o < x < 30o, 150o < x < 210o, 330o < x < 360o