logaritma natural (disingkat ln) adalah logaritma yang memiliki bilangan pokok e
dengan e = 2,718281828459…..
Jadi
ln x = elog x
Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma juga berlaku pada logaritma natural
1. ln a + ln b = ln ab
2. ln a — ln b = ln (a/b)
3. ln bn = n ln b
4.alog b = (ln b)/(ln a)
5.eln a = a
Turunan fungsi logaritma
y = ln x maka y’ = 1/x
y = alog x maka y’ = 1/(x ln a)
y = ex maka y’ = ex
y = ax maka y’ = ax ln a
Pertidaksamaan trigonometri merupakan pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri, baik sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan dan cosecan.
Ada 2 cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri
1. Metoda grafik
2. Metoda garis bilangan
Contoh 1:
Tentuka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x > 0 untuk 0o< x< 360o
Jawab :
Cara 1 : Metoda grafik
Sekarang kita gambar grafik y = sin x
Jika grafik di atas sumbu x berarti sin x > 0
Jika grafik di bawah sumbu x berarti sin x < 0
Artinya penyelesaian dari sin x> 0 adalah ketika grafik berada di aytas sumbu x, yaitu di daerah yang diarsir. Dengan demikian penyelesaiannya adalah
0o< x< 180o
Cara II : Metoda garis bilangan
sin x > 0
Pertama-tama ubah dulu menjadi persamaan :
sin x = 0
maka diperoleh
x1 = 0o x2 = 180o x3 = 360o
Langkah seterusnya kita gambar ketiga nilai x ini di garis bilangan
Langkah berikutnya kita buat tanda (+) atau (-) pada setiap ruas, caranya ambil sembarang nilai x , substitusikan ke dalam sin x
misalnya kita pilih x = 90o. Ketika kita substitusikan maka kita peroleh
sin x = sin 90o = 1
nilai 1 adalah (+)
karena 90o di antara 0o dan 180o maka daerah ruas antara 0o dan 180o adalah (+), selanjutnya ruas sebelahnya (-) , kemuadian (+) secara berselang-seling
karena pertidaksamaannya adalah sin x > 0 maka kita pilih daerah yang (+)
dengan demikian 0o < x< 180o atau x > 360o
akan tetapi karena permintaan soal adalah 0o< x< 360o maka diperoleh
0o< x< 180o
Contoh 2 :
Tentuka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2x > 0,5 untuk 0o< x< 360o
Jawab :
Cara 1 : Meoda grafik
Untuk menyelesaiakan pertiaksamaan cos 2x > 0,5 kita gambar grafik y = cos 2x
Setelah itu cari perpotongan grafik y = cos 2x dengan y = 0,5
cos 2x = 0,5
2x = 60o
x = 30o
Dengan memanfaatkan simetri pada grafik, maka diperoleh nilai x yang lain
x = 150o, x = 210o, dan x = 330o
garis y = 0,5 adalah garis yang berwarna merah, jadi jika diinginkan cos 2x > 0,5 jawababnya adalah ketika grafik berada di atas garis merah
Dari gambar terlihat bahwa penyelesaiannya adalah pada daerah yang diarsir
Jadi
0o < x < 30o, 150o < x < 210o, 330o < x < 360o
Cara II : Meotda garis bilangan
Pertama kita selesaikan dulu persamaan
cos 2x = 0,5
cos 2x = cos 60o
2x =± 60o + n.360o
x = ± 30o + n.180o
Untuk x = 30o + n.180o
n = 0 maka x = 30o
n = 1 maka x = 210o
Untuk x = -30o + n.180o
n = 1 maka x = 150o
n = 2 maka x = 330o
Selanjutnya nilai x yang sudah kita dapat kita gambar di garis bilangan
Langkah berikutnya uabahlah bentuk pertidaksamaan sehingga ruas kanan menjadi nol
cos x — 0,5 > 0
selanjutnya ambil sembarang x yang tidak terdapat di garis bilangan, misalnya x = 0. Substitusikan nilai x ini ke dalam f(x) = cos x — 0,5
Jadi
f(0) = 1 — 0,5 = 0,5
Ternyata diperoleh hasil positif. Artinya ruas yang mengandung x = 0 (ras paling kiri) bernilai positif. Selanjutnya ruas sebelah kanannya berubah secara berselang seling
Karena yang diinginkan cos x — 0,5 > 0 maka kita pilih daerah yang positif
Hasil ini harus kita irisakan dengan 0o< x< 360o sehingga
Dari gambar bisa didapat
0o < x < 30o, 150o < x < 210o, 330o < x < 360o
