Super Matematika

Berikut ini adalah soal barisan dan deret geometri

1. Diketahui barisan bilangan 1, 2, 4, 8, …..

Suku ke 12 sama dengan ….

(A) 512

(B) 1024

(C) 2048

(D) 4096

(E) 8192

 

2. Pada barisan geometri diketahui suku pertama 162 dan suku kedua 54. Suku ke 10 sama dengan …

(A) 1/2187

(B) 1/729

(C) 1/243

(D) 2/729

(E) 2/243

 

 

3. Pada deret geometri yang semua sukunya positif diketahui

U₁ + U₂ = 9 dan U₃ + U₄ = 36 maka U₅+U₆ = ….

(A) 72

(B) 108

(C) 128

(D) 144

(E) 160

 

4. Pada deret geometri diketahui U₂.U₅ = 100. Jika diketahui semua sukunya positif maka U₁.U₂.U₃.U₄.U₅.U₆.U₇ = …

A) 100.000

(B) 1.000.000

(C) 10.000.000

(D) 100.000.000

(E) 1.000.000.000

 

5. Suku pertama deret geometri adalah 3 dan suku keduanya adalah 6. Jumlah 8 suku pertamanya sama dengan …

(A) 765

(B) 775

(C) 785

(D) 795

(E) 805

 

6. 5 + 10 + 20 + 40 + …..+ x = 5115

maka x = …

(A) 160

(B) 320

(C) 640

(D) 1280

(E) 2560

 

7.Jumlah 3 suku pertama deret geometri sama dengan 35, sedangkan jumlah 6 suku pertamanya sama dengan 315. Suku ketiga sama dengan …

(A) 5

(B) 10

(C) 15

(D) 20

(E) 25

 

8. Sutas tali dipotong menjadi 5 bagian dengan potongannya membentuk barisan geometri. Jik panjang tali terpendek 2 cm dan tali terpenjang 162 cm maka panjang tali semula sama dengan ….

(A) 300

(B) 275

(C) 262

(D) 250

(E) 242

 

9. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 30. Jika bilangan ketiga ditambah 5 maka terbentuk deret geometri. Suku ketiga pada deret aritmetika sama dengan …

(A) 14

(B) 15

(C) 16

(D) 17

(E) 18

 

10. U_n merupakan suku ke-n pada barisan aritmetika. Jika U₁, U₃, U₁₁, dan U_x membentuk barisan geometri maka x sama dengan …

(A) 39

(B) 41

(C) 43

(D) 45

(E) 47

Materi logaritma SMA cenderung hanya memberikan sifat-sifat logaritma dan pembahasan soal-soal. Jarang ada yang membuktikan semua rumusnya. Melalui tulisan ini saya akan membuktikan semua rumus-rumusnya

 

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara definisi logaritma dinyatakan sebagai berikut

Jika a^b = c maka b = ^alogc

a disebut basis

c disebut numerus

c > 0

0 < a < 1 atau a > 1

Sifat 1 :

Jika a^b = c ………………………(1)

maka b = ^alogc …………………(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka

^alog a^b = b

 

Sifat 2

Misalkan

a^x = b maka x = ^alog b

a^y = cmaka y = ^alog c

Jika dikaliakan maka

a^x.a^y = bc

sehingga a^x+y = bc

jadi x + y = ^alog bc

Dengan mengganti x dan y maka diperoleh

^alog b + ^alog c = ^alog bc

Sekarang kita lakukan pembagian

a^x/a^y = b/c

a^{x — y} = b/c

x-y = ^alog bc

sekarang kita ganti x dan y nya

^alog b — ^alog c = ^alog b/c

 

SIfat 3

^alog b + ^alog c = ^alog bc

^alog b + ^alog b = ^alog b²

2^alog b = ^alog b²

^alog b² = 2^alog b

Dengan mudah akan kita buktikan bahwa

^alog bⁿ = n^alog b

 

Sifat 4

misalkan ^alog b = p

maka b = a^p

Jika kedua ruas kita beri ^clog maka

^clog b = ^clog a^p

dengan menggunakan sifat 2 maka

^clog b = p.^clog a

Jadi

Dengan mengganti p maka

Jika kita pilih c = 10 maka basis tidak usah ditulis, sehingga

 

Sifat 5

 

Dengan bantuan sifat 3 dan 4 maka

Jadi :

 

Sifat 6

Dengan memakai sifat 4 maka

Sehingga

 

Sifat 7 :

Kita pakai sifat 4 lagi

Jadi :

 

Sifat 7 :

Jika a^c = b ………………………….(1)

maka c = ^alog b ……………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan 2 ke persamaan (1) diperoleh

 

 

Sifat 8 :

Jika kedua ruas diberi ^blog maka

Pangkat pada numerus bisa turun sehingga

Dengan memakai sifat komutatif maka

Bentuk ini bisa kita ubah menjadi

Jadi :

Dengan demikian