Super Matematika

Soal-soal Sistem persamaan linear dan kuadrat serta pembahasannya :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan berikut

1. y = x² y = 3x + 10

2. x + y = 8 x² — y² = 16

3. x — y = 4 x² + y² = 26

4. 4x — 3y = 0 x² + y² = 25

 

Jawab :

1. y = x² y = 3x + 10

maka x² = 3x + 10

 

x² — 3x — 10 = 0

(x — 5)(x + 2) = 0

x = 5 atau x = -2

dengan mensubstitusi ke y = x² diperoleh

 

y = 25 atau y = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-2, 4), (5, 25)}

2. x + y = 8 x² — y² = 16

Cara I :

y = 8 — x

x² — y² = 16

 

x ² – (8 — x) ² = 16

x² – (64 — 16x + x ² ) = 16

 

x² – 64 + 16x — x ² = 16

 

16x = 80

x = 5

y = 8 — x = 8 — 5 = 3

 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5, 3}

 

Cara II :

x² — y² = 16

 

(x + y)(x — y) = 16

8(x — y) = 16

x — y = 2

selanjutnya kita lakukan eliminasi

x + y = 8

x — y = 2 +

2x = 10 maka x = 5

dan y = 3

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {5,3}

 

3. x — y = 4 x² + y² = 26

 

y = x — 4

x² + y² = 26

x² + (x — 4)² = 26

x² + x² – 8x + 16 = 26

2x² – 8x — 10 = 0

x² – 4x — 5 = 0

(x — 5)(x + 1) = 0

x = 5 atau x = -1

Dengan mensubstitusi ke persamaan y = x — 4 diperoleh

y = 1 atau y = -6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, -6), (5, 1)}

 

4. 4x — 3y = 0 x² + y² = 25

4x = 3y

x = (3/4)y

x² + y² = 25

[(3/4)y]² + y² = 25

(9/16)y² + y² = 25

Jika kedua ruas dikali dengan 16 maka diperoleh

9y² + 16y² = 400

25y² = 400

y² = 16

maka y = ±4

x = (3/4)y

untuk y = -4 maka x = -3

untuk y = 4 maka x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -3), (4, 3)}

 

 

Untuk belajar logaritma, anda harus memahadi definisi trlebih dahulu.

 

Definisi Logaritma

Jika a^b = c maka berlaku bahwa b = ^alog c

a disebut basis atau bilangan pokok

c disebut numerus

Syarat basis dan numerus adalah

0 < a < a atau a > 1

c > 0

Sifat-sifat logaritma :

1.^alog a^b = b

2.

3.

4. ^alog b + ^alog c = ^alog bc

5.^alog b — ^alog c = ^alog b/c

6. ^alog bⁿ = n ^alog b

7.

8.

9. ^alog b. ^blog c = ^alog c

10.

11.

 

Contoh soal

1. Jika log 3 = k maka log 81 = …

Jawab :

log 81 = log 34 = 4log 3 = 4k

 

2. Jika log 5 = x dan log 7 = y maka

a. log 35 = …

b. log 1,4 = …

c. log 2 = ….

Jawab :

a. log 35 = log (5.7) = log 5 + log 7 = x + y

b. log 1,4 = log (7/5) = log 7 — log 5 = y — x

c. log 2 = log (10/5) = log 10 — log 5 = 1 — x

 

3. Nilai x yang memenuhi persamaan

²log (x² — 8 x +7) = 4

adalah …

Jawab :

x² — 8 x +7 = 2⁴ = 16

x² — 8 x — 9 = 0

(x — 9)(x + 1) = 0

x = 9 atau x = -1

 

4. Nilai x yang memenuhi persamaan

³log (x-9) + ³log (x — 1) = 2

adalah ….

 

Jawab :

³log (x-9) + ³log (x — 1) = 2

³log (x-9)(x — 1) = 2

³log (x² — 10x + 9) = 2

x² — 10x + 9 = 3² = 9

x2 — 10x = 0

x(x — 10) = 0

x = 0 atau x = 10

x = 0 tidak memenuhi karena menyebabkan numerus x- 1 negatif

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 10

 

5. Nilai x yang memenuhi persamaan

adalah …

 

Jawab :

x^{log 2} = 2⁵

log x^{log 2} = log 2⁵

log 2 . log x = 5 log 2

log x = 5

x = 10⁵

x = 100.000