Teorema vieta menyatakan rumus-rumus jumlah dan hasil kali akar-akar pada persamaan polinom. Dengan menggunakan jumlah dan hasil kali ini kita bisa mendapatkan berbagai perhitungan akar-akar walaupun kita tidak mengetahui nilai akar-akarnya. Bentuk-bentuk yang dicari tersebut bisa simetris, bisa juga tidak simetris
Contoh bentuk simetris
α3 + β3 + γ3
Contoh bentuk tidak simetris
α3 + β5 + γ6
α3 + 2β
Bentuk-bentuk Teorema Vieta tersebut adalah
Persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
Persamaan Kubik
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3= -b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = -d/a
Persamaan Kuartik
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 =-b/a
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c/a
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 +x2x3x4 = -d/a
x1x2x3x4 = e/a
Persamaan Kuintik
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =-b/a
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x1x5 + x2x3 + x2x4 + x2x5 + x3x4 + x3x5 + x4x5 = c/a
x1x2x3 +x1x2x4 +x1x2x5 +x1x3x4 +x1x3x5 +x1x4x5 +x2x3x4 +x2x3x5 +x2x4x5 +x3x4x5 =-d/a
x1x2x3x4 +x1x2x3x5 + x1x2x4x5 + x1x3x4x5 + x2x3x4x5 = e/a
x1x2x3x4x5 = -f/a
Contoh soal 1
Persamaan kubik x3 — 7x2 + 2x — 5 = 0 memiliki akar-akar α, β, dan γ
Tentukan nilai dari
b. α2 + β2 + γ2
Jawab :
α + β + γ = -b/a = 7
αβ + αγ + βγ = c/a = 2
αβγ = -d/a=5
b. α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 – 2(αβ + αγ + βγ) = 72 — 2.2 = 49 — 4 =45
Contoh soal 2
Akar-akar persamaan kubik x3 — 9x2 + kx — 15 =0 membentuk barisan aritmetika. Nilai k sama dengan …
Jawab :
Cara I
Misal x1 = α x2 = α+ β x3 = α+2β
x1 + x2 + x3= -b/a = 9
α + α+ β + α + 2β = 9
3α+ 3β = 9
α+ β = 3
α = 3 — β
x1x2x3 = -d/a = 15
α(α+ β)(α + 2β) =15
α(3)(α + 2β) =15
α(α + 2β) =5
(3 — β)(3 — β + 2β) =5
(3 — β)(3 + β) =5
9 — β2 = 5
β2 = 4
β = 2
α = 3 — β = 3-2 = 1
x1 = α = 1 x2 = α+ β = 1+2 = 3 x3 = α+2β = 1 + 4 = 5
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = k
1.3 + 1.5 + 3.5 = k
k = 23
Cara II
Misal x1 = α x2 = α+ β x3 = α+2β
x1 + x2 + x3= -b/a = 9
α + α+ β + α + 2β = 9
3α+ 3β = 9
α+ β = 3
x2 = 3
Nilai x2 ini kita subtitusikan ke persamaan semula
x3 — 9x2 + kx — 15 =0
27 — 81 + 3k — 15 = 0
3k = 69
k=23
Contoh soal 3
Persamaan kuadrat 2x2 – 8x — 6 = 0 memiliki akar-akar α dan β
Nilai dari (α2 — 3α — 5)(β2 — 5β — 1) dan β sama dengan
Jawab
α + β = -b/a = 8/2 = 4
αβ = c/a = -6/2 = -3
2x2 – 8x — 6 = 0
2x2 = 8x + 6
x2 = 4x + 3
Nilai x bisa diganti dengan α dan β sehingga
α2 = 4α + 3
β2 = 4β + 3
sehingga
(α2 — 3α — 5)(β2 — 5β — 1)
=(4α + 3 — 3α — 5)(4β + 3 — 5α — 1)
=(α — 2)(-β + 2)
=-αβ + 2α + 2β — 4
= αβ + 2(α + β) — 4
= -3 + 8 — 4 = 1
Contoh soal 4
Persamaan x3 + 6x2 + 4x — 5 =0 mempunyai akar-akar α, β, dan γ. tentukan nilai dari α3 + β3 + γ3
Jawab :
α + β + γ = -b/a = -6
αβ + αγ + βγ = c/a = 4
αβγ = -d/a = 5
Cara I
α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 – 2(αβ + αγ + βγ) = (-6)2 — 2.4 = 36 — 8 =28
Persamaan semula bisa ditulis sebagai berikut
x3 = -6x2 — 4x + 5
Jika kita mengganti nilai x dengan α, β, dan γ maka
α3 = -6α2 — 4α + 5
β3 = -6β2 — 4β + 5
γ3 = -6γ2 — 4γ + 5
Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka diperoleh
α3 + β3 + γ3 = — 6(α2 + β2 + γ2 ) -4(α + β + γ) + 15
= -6.28 — 4.(-6) + 15 = -168 + 24 + 15 = -129
Cara II
α3 + β3 + γ3 = (α+ β+ γ)3 — 3(α+β+γ)(αβ + αγ + βγ) + 3αβγ
= (-6)3 – 3(-6).4 + 3.5 = -216 +72 + 15 = -129
Contoh soal 5
Akar-akar persamaan x3 — 13x2 + mx — 27 = 0 membentuk deret geometri. Nilai m sama dengan ….
Jawab :
misal x1 = α x2 = αr x3 = αr2
x1x2x3 = -d/a = 27
a.ar.αr2 = 27
a3 .r3 = 27
(ar)3 = 27
ar = 3
x2 = 3
Nilai x2 ini bisa disubtitusikan ke persamaan semula
x3 — 13x2 + mx — 27 = 0
33 — 13.32 + m.3 — 27 = 0
27 — 117 + 3m — 27 = 0
3m = 117
m = 39
Contoh soal 6
Agar persamaan x3 — x2 — 8x + n = 0 memiliki akar kembar. Nilai n yang bulat sama dengan …
Jawab :
karena kembar kita bisa memisalkan sebagai berikut
x1 = α x2 =β x3 = γ
x1 + x2 + x3 = -b/a = 1
α + α + β = 1
β = 1 — 2α
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a =8
α.α + αβ + αβ = 8
α2 + 2αβ = 8
α2 + 2α(1 — 2α) = 8
α2 + 2α — 4α2 = 8
-3α2 + 2α — 8 = 0
3α2 — 2α + 8 = 0
(α -2) (3α +4) = 0
α = 2
Nilai α ini bisa menggantikan x pada persamaan semula
x3 — x2 — 8x + n = 0
8 — 4 — 16 + n = 0
n = 12
Contoh soal 7
Jika α, β, γ, dan θ merupakan akar-akar persamaan kuartik x4 — 4x3 + 2x2 -5x + 7 = 0, tentukan nilai dari α3 + β3 + γ3 + θ3
Jawab :
α + β + γ + θ= -b/a = 4
αβ +αγ + αθ + βγ + βθ + γθ = c/a = 2
αβγ + αβθ + αγθ + βγθ =-d/a=5
αβγθ = e/a = 7
maka
α2 + β2 + γ2 + θ2 = (α+β+γ+θ)2 – 2(αβ +αγ + αθ + βγ + βθ + γθ)
= 42 — 2.2 = 16 — 4 = 12
Persamaan kuartik bisa kita tulis sebagai berikut :
x4 = 4x3 — 2x2 + 5x — 7
Jika semua ruas dibagi dengan x maka diperoleh
x3 = 4x2 — 2x + 5 — 7/x
Jika nilai x kita ganti dengan α, β, γ, dan θ maka diperoleh
α3 = 4α2 — 2α + 5 — 7/α
β3 = 4β2 — 2β + 5 — 7/β
γ3 = 4γ2 — 2γ + 5 — 7/γ
θ3 = 4θ2 — 2θ + 5 — 7/θ
Jika keempat persamaan ini kita jumlahkan maka diperoleh
α3 + β3 + γ3 + θ3 = 4(α2 +β2 +γ2 +θ2) — 2(α+β+γ+θ) + 20 -7(1/α+1/β+1/γ+1/θ)
= 4.12 — 2.4 — 7(5/7) = 48 — 8 — 5 = 35
