Seringkali soal-soal deret geometri menggunakan trigonometri. Jika kita memahami deret, tapi trigonometrinya belum dikuasai, nantinya juga akan kesulitan. Jika kita memahami trigonometrinya tapi deretnya belum paham maka kita juga kesulitan mengerjakannya. Untuk itulah penting sekali kita memahami keduanya.
Agar lebih jelas, berikut akan saya bahas beberapa soal yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga dan trigonometri
Contoh soal 1 :
Jika 0 < x < Π maka jumlah dari
sin x + sin x cos x + sin x cos2 x + sinx cos3 x + ….
adalah
Jawab :
Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga sehingga harus menggunakan rumus jumlah
maka kita membutuhkan nilai a dan r
a = suku pertama = U1 = sin x
Sehingga
Hasil ini tidak ada di pilihan, ….. tapi jangan berburuk sangka kalau soal salah. Di sini masih bisa kita kali dengan sekawan
Jadi jawaban yang sesuai adalah D
Contoh soal 2 :
Jika –Π/2 < x < Π/2 maka jumlah dari
cos x + cos x sin x + cos x sin2 x + cos x sin3 x + ….
adalah
(A) (B)
(C)
(D) (E) sec x + tan x
Jawab :
a = suku pertama = U1 = sin x
tentu saja hasil ini tidak ada di pilihan, sehingga harus kita kali dengan sekawan
Contoh Soal 3 :
Jika 0 < x < Π/2 , maka
sin x + cos x + sin3 x + cos3 x + sin5 x + cos5 x + …..
adalah ….
Jawab :
Sebenarnya deret di soal ini bukan deret geometri, tetapi merupakan jumlah dari 2 deret geometri yang berbeda rasionya.
deret geometri pertama adalah
sin x + sin3 x + sin5 x + …..
maka jumlahnya
deret geometri kedua adalah
cos x + cos3 x + cos5 x + …..
maka jumlahnya
Dengan demikian jumlahnya menjadi
Contoh Soal 4 :
Jika –Π/2 < x < Π/2 maka hasil dari
adalah ….
Jawab :
a = 1
r = – tan2 3x
Contoh Soal 4 :
Jika jumlah dari deret
1 + log sin x + log2 sin x + log3 sin x + log4 sin x + ……
adalah S maka batas-batas nilai S adalah …
Jawab :
a = 1
r = log sin x
sinus bernilai paling kecil –1 dan paling besar 1 sehingga
…………………..(1)
pada deret geometri tak hingga maka
–1 < r < 1
–1 < log sin x < 1
10– 1 < sin x < 101
0,1 < sin x < 10 ………………..(2)
Dari (1) dan (2) diproleh
Maka
Saat sin x = 0,1
Saat sin x = 1
Jadi, batas-batas nilai S adalah