Super Matematika

Seringkali soal-soal deret geometri menggunakan trigonometri. Jika kita memahami deret, tapi trigonometrinya belum dikuasai, nantinya juga akan kesulitan. Jika kita memahami trigonometrinya tapi deretnya belum paham maka kita juga kesulitan mengerjakannya. Untuk itulah penting sekali kita memahami keduanya.

Agar lebih jelas, berikut akan saya bahas beberapa soal yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga dan trigonometri

 

Contoh soal 1 :

Jika 0 < x < Π maka jumlah dari

sin x + sin x cos x + sin x cos² x + sinx cos³ x + ….

adalah

Jawab :

Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga sehingga harus menggunakan rumus jumlah

maka kita membutuhkan nilai a dan r

a = suku pertama = U₁ = sin x

Sehingga

Hasil ini tidak ada di pilihan, ….. tapi jangan berburuk sangka kalau soal salah. Di sini masih bisa kita kali dengan sekawan

 

Jadi jawaban yang sesuai adalah D

 

Contoh soal 2 :

Jika –Π/2 < x < Π/2 maka jumlah dari

cos x + cos x sin x + cos x sin² x + cos x sin³ x + ….

adalah

(A) (B) (C)

(D) (E) sec x + tan x

 

Jawab :

a = suku pertama = U₁ = sin x

tentu saja hasil ini tidak ada di pilihan, sehingga harus kita kali dengan sekawan

 

Contoh Soal 3 :

Jika 0 < x < Π/2 , maka

sin x + cos x + sin³ x + cos³ x + sin⁵ x + cos⁵ x + …..

adalah ….

Jawab :

Sebenarnya deret di soal ini bukan deret geometri, tetapi merupakan jumlah dari 2 deret geometri yang berbeda rasionya.

deret geometri pertama adalah

sin x + sin³ x + sin⁵ x + …..

maka jumlahnya

deret geometri kedua adalah

cos x + cos³ x + cos⁵ x + …..

maka jumlahnya

Dengan demikian jumlahnya menjadi

 

Contoh Soal 4 :

Jika –Π/2 < x < Π/2 maka hasil dari

adalah ….

Jawab :

a = 1

r = – tan² 3x

 

Contoh Soal 4 :

Jika jumlah dari deret

1 + log sin x + log² sin x + log³ sin x + log⁴ sin x + ……

adalah S maka batas-batas nilai S adalah …

Jawab :

a = 1

r = log sin x

sinus bernilai paling kecil –1 dan paling besar 1 sehingga

…………………..(1)

 

pada deret geometri tak hingga maka

–1 < r < 1

–1 < log sin x < 1

10^{– 1} < sin x < 10¹

0,1 < sin x < 10 ………………..(2)

Dari (1) dan (2) diproleh

Maka

Saat sin x = 0,1

Saat sin x = 1

Jadi, batas-batas nilai S adalah