Super Matematika

Fungsi sin x dinyatakan dengan f(x) = sin x

Fungsi ini jika diturunkan akan berubah menjadi cos x

Untuk mendapatkan hasil ini, kita bisa menngunakan definisi turunan.

Untuk mendapatkan ini, kita bisa menggunakan definisi turunan

Jika f(x) = sin x maka

 

Cara II

Jadi, terbukti bahwa tuunan f(x) = sin x adalah f'(x) = cos x

Turunan seringkali diaplikasikan untuk mencari maksimum dan minimum. Kondisi maksimum dan minimum merupakan kondisi stasioner. Untuk lebih memahami, bisa dipelajari di bagian fungsi naik dan fungsi turun.

Kondisi stasioner terjadi saat turunan pertama bernilai nol. Jadi, baik maksimum maupun minimum, turunan pertama harus nol. Agar lebih jelas kita kerjakan saja soal-soal berikut :

 

Contoh soal 1 :

Jumlah dua buah bilangan adalah 22. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah …

Jawab :

misal, kedua bilangan tersebut adalah x dan y

maka

x + y = 22

y = 22 — x

sehingga hasil kalinya

xy = x(22 — x) = 22x — x²

Agar maksimum maka turunan pertama harus nol

22 — 2x = 0

22 = 2x

x = 11

maka

y = 22 – x = 22 – 11 = 11

Hasil kali maksimumnya adalah

xy = 11.11 = 121

 

Contoh soal 2

Selisih dua buah bilangan adalah 12. Hasil kali minimum kedua bilangan adalah …..

Jawab :

misalkan kedua bilangan adalah a dan b, sehingga

a – b = 12

a = b + 12

hasil kali kedua bilangan adalah

ab = (b + 12)b = b² + 12b

Agar minimum maka turunan pertama sama dengan nol

2b + 12 = 0

2b = – 12

b = –6

nilai a bisa diperoleh dari

a = b + 12 = –6 + 12 = 6

Hasil kali minimumnya adalah

ab = 6(–6) = –36

 

Contoh soal 3 :

Luas maksimum persegi panjang yang diarsir adalah …

Jawab :

Persamaan garis pada gambar adalah

10x + 6y = 10.6

10x + 6y = 60

6y = 60 — 10x

y = 10 — (5/3) x

Setiap titik pada garis bisa kita misalkan x, y

Jika (x, y) kita letakkan pada titik sudut persegi panjang maka x menyatakan lebarnya dan y menyatakan panjangnya, sehingga luasnya

L = xy = x(10 — (5/3) x) = 10x — (5/3) x²

Agar L maksimum maka

L’ = 0

10 — (10/3) x = 0

10 = (10/3) x

x = 3

sehingga

y = 10 — (5/3) x = 10 — 5 = 5

luas maksimum

L = xy = 3.5 = 15

 

Contoh Soal 4 :

Jarak terdekat titik (5, 0) ke kurva y = √x adalah ….

Jawab :

Persamaan kurva adalah

Bentuk ini bisa diubah menjadi

y² = x atau x = y²

Misalkan jarak (5,0) ke kurva dimisalkan s, maka

Agar nilai s minimum maka nilai yang di dalam akar harus minimum

Maka turunan fungsi yang di dalam akar harus 0

turunan (x²  — 9x + 25) = 0

2x — 9 = 0

x = 9/2

maka

 

Contoh soal 5 :

Jika nilai maksimum fungsi

adalah 7, maka p = ….

Jawab :

Agar maksimum maka

y’ = 0

Dari soal diketahui

y_maks = 7