Super Matematika

Materi logaritma SMA cenderung hanya memberikan sifat-sifat logaritma dan pembahasan soal-soal. Jarang ada yang membuktikan semua rumusnya. Melalui tulisan ini saya akan membuktikan semua rumus-rumusnya

 

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara definisi logaritma dinyatakan sebagai berikut

Jika a^b = c maka b = ^alogc

a disebut basis

c disebut numerus

c > 0

0 < a < 1 atau a > 1

Sifat 1 :

Jika a^b = c ………………………(1)

maka b = ^alogc …………………(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka

^alog a^b = b

 

Sifat 2

Misalkan

a^x = b maka x = ^alog b

a^y = cmaka y = ^alog c

Jika dikaliakan maka

a^x.a^y = bc

sehingga a^x+y = bc

jadi x + y = ^alog bc

Dengan mengganti x dan y maka diperoleh

^alog b + ^alog c = ^alog bc

Sekarang kita lakukan pembagian

a^x/a^y = b/c

a^{x — y} = b/c

x-y = ^alog bc

sekarang kita ganti x dan y nya

^alog b — ^alog c = ^alog b/c

 

SIfat 3

^alog b + ^alog c = ^alog bc

^alog b + ^alog b = ^alog b²

2^alog b = ^alog b²

^alog b² = 2^alog b

Dengan mudah akan kita buktikan bahwa

^alog bⁿ = n^alog b

 

Sifat 4

misalkan ^alog b = p

maka b = a^p

Jika kedua ruas kita beri ^clog maka

^clog b = ^clog a^p

dengan menggunakan sifat 2 maka

^clog b = p.^clog a

Jadi

Dengan mengganti p maka

Jika kita pilih c = 10 maka basis tidak usah ditulis, sehingga

 

Sifat 5

 

Dengan bantuan sifat 3 dan 4 maka

Jadi :

 

Sifat 6

Dengan memakai sifat 4 maka

Sehingga

 

Sifat 7 :

Kita pakai sifat 4 lagi

Jadi :

 

Sifat 7 :

Jika a^c = b ………………………….(1)

maka c = ^alog b ……………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan 2 ke persamaan (1) diperoleh

 

 

Sifat 8 :

Jika kedua ruas diberi ^blog maka

Pangkat pada numerus bisa turun sehingga

Dengan memakai sifat komutatif maka

Bentuk ini bisa kita ubah menjadi

Jadi :

Dengan demikian

logaritma natural (disingkat ln) adalah logaritma yang memiliki bilangan pokok e

dengan e = 2,718281828459…..

Jadi

ln x = ^elog x

Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma juga berlaku pada logaritma natural

1. ln a + ln b = ln ab

2. ln a — ln b = ln (a/b)

3. ln bⁿ = n ln b

4.^alog b = (ln b)/(ln a)

5.e^{ln a} = a

 

Turunan fungsi logaritma

y = ln x maka y’ = 1/x

y = ^alog x maka y’ = 1/(x ln a)

y = e^x maka y’ = e^x

y = a^x maka y’ = a^x ln a