Teorema Sisa

Misalkan kita melakukan pembagian, yaitu 84 dibagi 10, maka hasilnya adalah 8, sedangkan sisanya adalah 4.

84 adalah yang dibagi

10 adalah pembagi

8 adalah hasil bagi

4 adalah sisa

Artinya

84 = 10 x 8 + 4

Bentuk ini bisa kita nyatakan sebagai teorema sisa

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Sebelum mengerjakan soal-soal suku banyak yang berkaitan dengan teorema sisa ada beberapa hal yang perlu diingat

Jika f(x) : (x – a) maka sisanya adalah f(a)

Jika f(x) : (x + a) maka sisanya adalah f(-a)

Jika f(x) : (ax + b) maka sisanya adalah f(-b/a)

 

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak yang berderajat n maka sisanya merupakan suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n – 1

Jadi

Jika f(x) :(ax + b) sisanya pasti konstanta

Jika f(x) :(ax2 + bx + c) sisanya bisa dimisalkan px + q

Jika f(x) :(ax3 + bx2 + cx + d) sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r

Jika f(x) :(ax4 +bx3 +cx2 +dx +e) sisanya bisa dimisalkan px3 +qx2 +rx +s

dan sebagainya

 

 

Contoh soal 1 :

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh x2 – 7x + 12 sisanya adalah 2x + 7. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – 4

Jawab :

berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Karena hasil bagi tidak ada di soal maka bisa kita misalkan h(x)

f(x) =  (x2 – 7x + 12) h(x) + 2x + 7

f(x) =  (x – 3)(x – 4) h(x) + 2x + 7

Yang ditanyakan di soal ini adalah jika f(x) dibagi 4 sisanya berapa. Sesuai aturan, sisa yang kita cari adalah f(4) sehingga kita tinggal mensubtitusikan 4 ke dalam f(x)

f(4) = (4 – 3)(4 – 4) + 2.4 + 7 = 0 + 8 + 7 = 15

Jadi sisanya adalah 15

 

Contoh soal 2 :

Suku banyak f(x) jika dibagi x- 5 sisanya adalah 24, sedangkan jika dibagi x – 7 sisanya adalah 30. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 – 12x + 35

Jawab :

f(x) :(x – 5) sisa = 24     ===> f(5) = 24

f(x) : (x – 7) sisa = 30     ===> f(7) = 30

f(x) : (x2 – 12x + 35) sisanya bisa dimisalkan px + q sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan k(x)

Sesuai teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) =(x2 – 12x + 35) k(x) + px + q

f(x) =(x – 7)(x – 5) k(x) + px + q

dengan mensubtitusikan nilai x = 7 dan x = 5 maka

f(7) = 7p + q = 30

f(5) = 5p + q = 24    

.        2p       = 6    ==>  p = 3

5p + q = 24

15 + q= 24  ==> q = 9

Jadi sisanya adalah

px + q = 3x + 9

 

 Contoh soal 3 :

Suku banyak f(x) jika dibagi 3x- 1 sisanya adalah 10, sedangkan jika dibagi 2x + 3 sisanya adalah -1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh 6x2 + 7x – 3

 

Jawab :

f(x):(3x – 1) sisa = 10   ==> f(1/3)= 10

f(x):(2x + 3) sisa = -1   ==> f(-3/2) = -1

f(x) : (6x2 + 7x – 3) sisanya bisa dimisalkan mx + n sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan p(x)

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Jadi

f(x) =(6x2 + 7x – 3)p(x) + mx + n

f(x) =(3x – 1)(2x + 3)p(x) + mx + n

Dengan mensubtitusi x = 1/3 dan x = -3/2 maka

dengan mengurangkan kedua persamaan maka diperoleh :

Jika kedua ruas dikali 6 maka

2m + 9m = 66

11m = 66

m = 6

Kembali ke persamaan pertama :

2 + n = 10

n = 8

Jadi, sisanya adalah

mx + n = 6x + 8

 

Contoh Soal 4 :

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x – 1, x + 1 dan x – 2 masing-masing sisanya adalah 24, 32 dan 26. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleg x3 – 2x2 – x + 2

Jawab :

f(x) :(x-1) sisa = 24   ===> f(1) =24

f(x) :(x+1) sisa = 32   ===> f(-1) = 32

f(x) :(x-2) sisa = 26   ===> f(2) = 26

Ketika f(x) :(x3 – 2x2 – x + 2) maka sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r sedangkan hasilbagi kita misalkan g(x)

Pembagi bisa kita fakorkan sebagai berikut

x3 – 2x2 – x + 2

= x2(x- 2) – 1.(x – 2)

=(x2 – 1)(x – 2)

=(x + 1)(x – 1)(x – 2)

Sesuai teorema sisa maka

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2) g(x) + px2 + qx + r

Dengan mensubtitusikan x = -1, x = 1, dan x = 2 maka

f(-1) = p – q + r =32 ………………(1)

f(1) = p + q + r =24 ………………(2)

f(2) = 4p + 2q + r =26 ……………(3)

Jika persamaan (2) dikurangi persamaan (1) maka

2q = – 8 maka q = -4 ……………..(4)

Jika persamaan (3) dikurangi persamaan (2) maka

3p + q = 2

3p – 4 =  2

3p = 6 maka p = 2 …………………(5)

Kembali ke persamaan (2)

p + q + r =24

2 – 4 + r = 24

r = 26 ……………………………..(6)

Jadi, sisanya adalah

px2 + qx + r = 2x2 – 4x + 26

 

Contoh Soal 5 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x – 9 masing-masing sisanya adalah 25 dan 40. Jika f(x) = g(x)h(x) maka sisa pembagian f(x) oleh x – 9 adalah …

Jawab :

g(x):(x – 9) sisa = 25   ===> g(9) = 25

h(x):(x – 9) sisa = 40   ===> h(9) = 40

diketahui f(x) = g(x)h(x)

maka f(9) = g(9)h(9) = 25.40 = 1.000

Jadi, jika f(x) dibagi oleh x – 9 sisanya adalah 1.000

 

Contoh Soal 6 :

Suku banyak p(x) jika dibagi oleh x2 – 5x sisanya adalah 2x + 6. Suku banyak q(x) jika dibagi x2 – 9x + 20 sisanya adalah 3x + 5. Jika g(x) = p(x) + q(x) maka sisa pembagian g(x) oleh x – 5 adalah ….

 Jawab :

p(x) :(x2 – 5x) sisa = 2x + 6

q(x) :(x2 – 9x + 20) sisa = 3x + 5

Berdasarkan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

p(x) =(x2 – 5x)h(x)+ 2x + 6

q(x) =(x2 – 9x + 20)k(x)+ 3x + 5

maka

p(5) = (25 – 25) h(5) + 10 + 6 = 0 + 16 = 16

q(5) = (25 – 45 + 20) k(5) + 15 + 5 = 0 + 20 = 20

Dari soal diketahui g(x) = p(x) + q(x)

sehingga

g(5) = p(5) + q(5) = 16 + 20 = 36

Jadi, ketika g(x) dibagi (x – 5) sisanya adalah 36

 

Contoh Soal 7 :

Suku banyak u(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya adalah 4 dan 8. Suku banyak v(x) jika dibagi x – 1 dan x – 5 sisanya 7 dan 5.  Tentukan sisanya jika f(x) = u(x)v(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5.

Jawab :

u(x) : (x – 1) sisa = 4   ===>  u(1) =4

u(x) : (x – 5) sisa = 8   ===>  u(5) =8

v(x) : (x – 1) sisa = 7   ===>  v(1) =7

v(x) : (x – 5) sisa = 5   ===>  v(5) =5

 

f(x) = u(x)v(x)

f(1) = u(1)v(1) =4.7 = 28

f(5) = u(5)v(5) = 8.5 = 40

Pertanyaan

Jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 maka sisanya = ?

Misalkan sisa = mx + n

Menurut teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

f(x) = (x2 – 6x + 5) h(x) + mx + n

f(x) = (x – 5)(x – 1) h(x) + mx + n

f(5) = 5m + n = 40

f(1) =  m + n = 28     

.         4m     = 12 maka m = 3

m + n = 28

3 + n = 28

n = 25

Jadi jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 sisanya 3x + 25

 

 

Contoh Soal 8 :

Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x2 – x – 6 sisanya adalah x + 3 dan 2x – 1. Tentukan sisanya jika f(x)=g(x)h(x) dibagi oleh x2 – x – 6

 

Jawab :

Pembagi = x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2)

g(x):(x – 3)(x + 2) sisa = x + 3

h(x):(x – 3)(x + 2) sisa = 2x – 1

dengan teorema sisa

yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

g(x)=(x – 3)(x + 2)k(x) + x + 3

h(x)=(x – 3)(x + 2)m(x) + 2x – 1

sehingga diperoleh

g(3) = 6 dan g(-2) = 1

h(3) = 5 dan h(-2) = -5

Karena f(x) = g(x)h(x) maka

f(3) = g(3) h(3) = 6.5 = 30

f(-2) = g(-2) h(-2) = 1.(-5) = -5

misal jika f(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya ax + b sehingga

f(x) = (x – 3)(x + 2)r(x) + ax + b

f(3) = 3a + b = 30

f(-2) = -2a + b =-5     

.         5a = 35     ===>   a = 7

3a + b = 30

21 + b = 30   ===> b = 9

Jadi, sisanya = 7x + 9

 

Comments are closed.