Super Matematika

Suku Banyak dan Trigonometri, kelihatannya tidak ada hubungannya. Akan tetapi seringkali akar-akar suku banyak berupa trigonometri, apakah sinus, cosinus ataupun tangen.

sebagai contoh kita pilih soal berikut

Misalkan x₁ = 2cos 40^o, x₂ = 2cos 80^o, x₃ = 2 cos 160^o

1. Tentukan nilai dari x₁ + x₂ + x₃

2. Tentukan nilai dari x₁.x₂.x₃

3. Tentukan nilai dari x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃

4. Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya x₁ , x₂, dan x₃

 

Jawab :

Nomor 1

x₁ + x₂ + x₃

= 2cos 40^o+ 2cos 80^o + 2 cos 160^o

= 2(cos 80^o+ 2cos 40^o) + 2 cos 160^o

= 4 cos 60^o cos 20^o + 2 cos (180^o — 20^o)

= 4. 0,5. cos 20^o — cos 20^o = 0

 

Nomor 2 :

x₁.x₂.x₃ = (2cos 40^o)( 2cos 80^o)(2 cos 160^o)

x₁.x₂.x₃ = 8 cos 40^o .cos 80^o.cos 160^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 8 sin40^o cos 40^o .cos 80^o.cos 160^o

(ingat sin40^o cos 40^o = 0,5 sin 80^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 4 sin 80^o .cos 80^o.cos 160^o

(ingat sin 80^o cos 80^o = 0,5 sin 160^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = 2 sin 160^o .cos 160^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = sin 320^o

x₁.x₂.x₃ sin40^o = sin (360^o — 40^o)

x₁.x₂.x₃ sin40^o = — sin 40^o

x₁.x₂.x₃ = — 1

 

Nomor 3 :

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃

x₁.x₂ + x₃.(x₁ + x₂)

= (2cos 40^o).(2cos 80^o) + (2cos 40^o).(2cos 160^o) + (2cos 80^o).(2cos 160^o)

= 4cos 40^o.cos 80^o + 4cos 40^o.cos 160^o + 4cos 80^o.cos 160^o

= (2 cos 120^o + 2 cos 40^o) + (2 cos 200^o + 2 cos 120^o ) + (2 cos 240^o + 2 cos 80^o )

= (2 (-0,5) + 2 cos 40^o) + (2 cos 200^o + 2 (-0,5) ) + (2 (-0,5) + 2 cos 80^o )

= -1 + 2 cos 40^o + 2 cos 200^o -1 -1 + 2 cos 80^o

= -3 + 2(cos 80^o + cos 40^o) + 2 cos 200^o

= -3 + 2.2 cos 60^o cos 20^o + 2 cos (180^o + 20^o)

= — 3 + 4(0,5) cos 20^o — 2 cos 20^o

= -3 + 2cos 20^o — 2 cos 20^o = -3

 

Nomor 4 :

Persamaan kubik yang akar-akarnya x₁, x₂, dan x₃ adalah

x³ — (x₁ + x₂ + x₃ )x² + (x₁ x₂ + x₁ x₃ + x₂ x₃ )x — x₁ x₂ x₃ = 0

Dengan mensubtitusikan hasil perhitungan nomor 1, 2, dan 3 maka diperoleh

x³ — (0)x² + (-3)x — (-1) = 0

x³ -3x + 1 = 0