Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.
Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.
Contoh soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c — d = 15
3a + 2b + 2c + 4d = 9
4a — b + 3c + 2d = 5
Jawab :
Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi
Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)
2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)
a + b + 5c — d = 15 ………………………………………(2)
3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)
4a — b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)
Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d
Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c — d = 15__________ +
3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)
Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)
a + b + 5c — d = 15 |4|→ 4a + 4b + 20c — 4d = 60
3a + 2b + 2c + 4d = 9 |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +
. 7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)
Sekarang persamaan (2) dengan (4)
a + b + 5c — d = 15 |2|→ 2a + 2b + 10c — 2d = 30
4a — b + 3c + 2d = 5 |1|→ 4a — b + 3c + 2d = 5 +
. 6a + b + 13c = 35 …………………….(7)
Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b
sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)
6a + b + 13c = 35 |4| → 24a + 4b + 52c = 140
3a + 4b + 6c = 27 |1| → 3a + 4b + 6c = 27 _
. 21a + 46c = 113 …………….(8)
sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)
6a + b + 13c = 35 |6| → 36a + 6b + 78c = 210
7a + 6b + 22c = 69 |1|→ 7a + 6b + 22c = 69 _
. 29a + 56c = 141 ……………..(9)
Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)
21a + 46c = 113 |29| → 609a + 1334c = 3277
29a + 56c = 141 |21| → 609a + 1176c = 2961 _
. 158c = 316
. c = 2
21a + 46c = 113
21a + 46.2 = 113
21a + 92 = 113
21a = 21 → a = 1
6a + b + 13c = 35
6.1 + b + 13.2 = 35
6 + b + 26 = 35
32 + b = 35 → b = 3
2a + 3b + c + d = 12
2.1 + 3.3 + 2 + d = 12
2 + 9 + 2 + d = 12
13 + d = 12
d = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}