Perhatikan keempat rumus trigonometri jumlah sudut berikut
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ……………………(1)
sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B …………………….(2)
cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B ……………………(3)
cos (A + B) = cos A cos B + sin A sin B ……………………(4)
Jika rumus (1) ditambah rumus (2) maka
sin (A+B) + sin (A-B) = 2 sin A cos B
sehingga
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) …………………….(5)
Jika rumus (1) dikurangi rumus (2) maka
sin (A+B) — sin (A-B) = 2 cos A sin B
sehingga
2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B) ……………………….(6)
Jika rumus (3) ditambah rumus (4) maka
cos (A+B) + cos (A-B) = 2 cos A cos B
sehingga
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) …………………….(7)
Jika rumus (3) dikurangi rumus (4) maka
cos (A+B) — cos (A-B) = -2 sin A sin B
sehingga
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B) ……………………..(8)
Jadi yang dimasud rumus trigonometri perkalian menjadi penjumlahan adalah
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)
contoh soal 1
2 sin 75o cos 15o = ..
Jawab :
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 sin 75o cos 15o = sin (75o + 15o) + sin (75o — 15o)
= sin 90o + sin 60o
Contoh soal 2
2 cos 75o cos 15o = ..
Jawab :
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)
2 cos 75o cos 15o = cos (75o + 15o) + cos (75o — 15o)
= cos 90o + cos 60o
= 0 + 1/2 = 1/2
contoh soal 3
cos 67,5o sin 22,5o = …
Jawab :
2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B)
2cos 67,5o sin 22,5o = sin (67,5o+22,5o) — sin (67,5o-22,5o)
= sin 90o — sin 45o
Jadi
cos 67,5o sin 22,5o
Contoh soal 4
sin 52,5o sin 7,5o = …
Jawab :
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)
-2sin 52,5o sin 7,5o
= cos (52,5o+7,5o) — cos (52,5o-7,5o)
= cos 60o — cos 45o
Jadi
sin 52,5o sin 7,5o =
Contoh soal 5
Jika sin 54o — sin 18o = x maka sin 54o sin 18o = …
Jawab :
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)
-2 sin 54o sin 18o = cos (54o+18o) — cos (54o-18o)
= cos 72o — cos 36o = cos (90o — 18o) — cos (90o — 54o)
= sin 18o — sin 54o = -(sin 54o — sin 18o) = -x
sin 54o sin 18o = x/2
Contoh soal 6
Segitiga ABC siku-siku di A. Jika sin B cos C = 0,6 maka sin (B — C) = …
Jawab :
A = 90o maka B + C = 90o
sin B cos C = 0,6
2sin B cos C = 1,2
sin (B + C) + sin (B — C) = 1,2
sin 90o + sin (B — C) = 1,2
1 + sin (B — C) = 1,2
sin (B — C) = 0,2
Contoh soal 7
Pada segitiga siku-siku ABC, cos A cos B = 0,3 maka cos (A-B) = …
Jawab :
Karena cos 90o = 0 maka segitiga tidak mungkin siku-siku di A atau B. Segitiga hanya bisa siku-siku di C sebab cos A cos B = 0,3
C = 90o maka A + B = 90o
2cos A cos B = 0,6
cos (A+B) + cos (A-B) = 0,6
cos 90o + cos (A-B) = 0,6
0 + cos (A-B) = 0,6
cos (A — B) = 0,6