Persamaan Trigonometri SMA

Trigonometri merupakan fungsi yang periodik, karena itu penyelesaian persamaan trigonometri memiliki cara terendiri. Siswa SMA terkadang main hantam saja ketika menyelesaiakan persamaan trigonometri tanpa memperdulikan aturan yang ada.

Aturan-aturan dalam persamaan trigonometri
Untuk n bilangan bulat berlaku

sin x = sin θ
x = θ + n.360o
x = 180o – θ + n.360o

 

cos x = cos θ
x = θ + n.360o
x = -θ + n.360o

 

tan x = tan θ
x = θ + n.180o

 

Contoh soal 1

Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2

Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30o

3x = 30o + n.360o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o

3x = 180o – 30o + n.360o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

 

Contoh soal 2

Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2

Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45o

5x = 45o + n.360o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o

5x = -45o + n.360o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}

 

Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3        0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….

Jawab :

tan 4x = √3
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}

 

Contoh soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …

Jawab :

sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin (90o – 2x)

3x = 90o – 2x + n.360o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o

3x = 180o – (90o – 2x) + n.360o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}

 

Contoh Soal 5 :

Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …

Jawab :

sin 5x + sin 3x = √3 cos x
2 sin 1/2 (5x + 3x) cos 1/2 (5x – 3x) = √3 cos x
2 sin 4x cos x = √3 cos x
2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0
cos x ( 2 sin 4x – √3) = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3

cos x = 0
cos x = cos 90o

x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o

sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o

4x = 60o + n.360o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o

4x = 180o – 60o + n.360o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

 

Contoh Soal 6 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan
√3 tan2 2x – 4tan 2x + √3 = 0
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …

Jawab :

√3 tan2 2x – 4tan 2x + √3 = 0

untuk lebih mudahnya kita gunakan rumus ABC

Kemungkinan 1 :

tan 2x = tan 60o
2x = 60o + n.180o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o

 

Kemungkinan 2 :

tan 2x = tan 30o
2x = 30o + n.180o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15o, 30o, 105o, 120o, 195o, 210o, 285o, 300o}

 

 

Comments are closed.