Secara umum persamaan kuadrat dinyatakan dengan
ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0
Jika kedua ruas dibagi dengan a maka diperoleh
Kedua ruas kita tambah dengan (b/2a)2 sehingga
sehingga
Bentuk terakhir ini dikenal dengan nama rumus ABC
Selanjutnya nilai b2 — 4ac disebut diskriminan, yang disingkat D. Dengan demikian rumus ABC bisa ditulis menjadi
maka
Contoh 1
Jika α dan β akar-akar persamaan x2 — 5x + 3 = 0, tentukan nilai dari
a. α2 + β2
b. (α — β)2
c. α3 + β3
Jawab
α + β = -b/a = 5 αβ = c/a = 3
a. (α+ β)2 = α2 + 2αβ + β2
. sehingga α2 + β2 = (α+ β)2 — 2αβ
. = 25 — 6 = 19
b. (α — β)2 = α2 + β2 -2αβ = 19 — 6 = 13
c. (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
. (α + β)3 = α3 + 3αβ(α + β) + β3
. α3 + β3 = (α + β)3 — 3αβ(α + β)
. = 53 — 3.3.5 = 125 — 45 = 80
Penggunaan Diskriminan
D ≥ 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real
D > 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real berbeda
D = 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real kembar
D < 0 → Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real
Contoh 2 :
Tentukan nilai m agar persamaan x2 — (m — 5)x + m + 10 = 0 memiliki akar kembar
Jawab :
Syarat akar kembar : D = 0
b2 — 4ac = 0
(m — 5)2 — 4.1.(m + 10) = 0
m2 — 10m + 25 — 4m — 40 = 0
m2 — 14m — 15 = 0
(m — 15)(m + 1) = 0
m = 15 atau m = -1
Contoh 3
Tentukan nilai p agar persamaan x2 — 8x + 3 — p = 0 memiliki 2 akar real berbeda
Jawab
2 akar real berbeda : D > 0
b2 — 4ac > 0
64 — 4.1.(3 — p) > 0
64 — 12 + 4p > 0
4p > -52
p > — 13
akar akar positif persamaan kuadrat
akar akar negatif persamaan kuadrat
akar akar rasional persamaan kuadrat
penyelesaian persamaan kuadrat
soal dan pembahasan persamaan kuadrat