Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan

Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung. Mungkin ada yang memakai diskriminan atau rumus-rumus tertentu. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas persamaan garis singgung dengan memakai turunan.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

garis sinngung

 

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y – y1 = m(x – x1)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2
y = x4 – 3x3 + 6x + 7
y = 24 – 3.23 + 6.2 + 7 = 16 – 24 + 12 + 7 = 11
m = y’ = 4x3 – 9x2 + 6 = 4.23 – 9.22 + 6 = 32 – 36 + 6 = 2

y – y1 = m(x – x1)
y – 11 = 2 (x – 2)
y – 11 = 2x – 4
y = 2x + 7

 

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 – 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30
2x3 – 24 = 30
2x3 = 54
x3 = 27
x = 3
m = y’ = 6x2 = 6.32 = 54

y – y1 = m(x – x1)
y – 30 = 54 (x – 3)
y – 30 = 54x – 162
y = 54x – 132

 

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 – x4  yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32
y’ = 32
-4x3 = 32
x3 = -8
x = -2
y = 20 – x4 = 20 -(16) = 4

 

y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = 32(x + 2)
y – 4 = 32x + 64
y = 32x + 68

 

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y =  x6 + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72
6y = – x + 72
y = -1/6 x + 12
m1 = -1/6
Karena tegak lurus maka
m1.m2 = -1
m2 = 6

y =  x6 + 22
y’ = m2
6x5 = 6
x5 = 1
x = 1
y =  x6 + 22
y =  16 + 22 = 23

y – y1 = m(x – x1)
y – 23 = 6(x -1)
y – 23 = 6x – 6
y = 6x + 17

 

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π
y = sin 2x = sin 2π = 0
m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = -2(x – π)
y = -2x + 2π
titik potong sumbu y → x = 0
y = 0 + π = π
Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

 

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x2 – 7x + 2 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 – 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45o = 1
y = 0,5x2 – 7x + 2
y’ = m
x – 7 = 1
x = 8
y = 0,5x2 – 7x + 2
y = 0,5.82 – 7.8 + 2
y = 32 – 56 + 2 = -22
y – y1 = m(x – x1)
y + 22 = 1.(x – 8)
y = x – 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 – 2x dengan y = x – 30
x – 30 = 9 – 2x
3x = 39
x = 13
y = x – 30 = 13 – 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

 

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x2 + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax3 + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka
y = x2 + 10x + 7
y = 12 + 10.1 + 7 = 18
m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12 (x – 1)
y – 18 = 12x – 12
y = 12x + 6

y = ax3 + b
y’ = m
3ax2 = 12
karena menyinggung di x = 4 maka
3a.42=12
48a = 12
a = 1/4
Kurva menjadi y = 1/4 x3 + b
garis singgung y = 12x + 6
saat x = 4 maka y = 48 + 6 = 54
maka kurva y = 1/4 x3 + b melalui (4, 54)
54 = 1/4 . 43 + b
54 = 16 + b
b = 38

 

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x3 – 3x2 + 5x – 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5
x3 – 3x2 + 5x – 10 = 5
x3 – 3x2 + 5x – 15 = 0
x2 (x – 3) + 5(x – 3) = 0
(x2 + 5)(x – 3) = 0
x2 = -5 (tidak mungkin)
x = 3
m = y’ = 3x2 – 6x + 5
m = 3.32 – 6.3 + 5
m = 27 – 18 + 5 = 14

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14
m = 14
y’ = 14
3x2 – 6x + 5 = 14
3x2 – 6x – 9 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 (tidak memenuhi, sebab ini adalah absis titik singgung garis g)
x = -1
y = x3 – 3x2 + 5x – 10
y = (-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1) – 10
y = -1 – 3 – 5 – 10 = -19
y – y1 = m(x – x1)
y + 19 = 14 ( x + 1)
y + 19 = 14x + 14
y = 14x – 5

 

 

 

 

Comments are closed.