Pergeseran Hiperbola

Hiperbola dengan pusat (0,0) memiliki persamaan

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

Jika hiperbola kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q maka persamaannya menjadi

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

 

Semua aturan pada hiperbola

  • Tidak ada aturan mana yang lebih besar di antara a dan b
  • a2 berada di area yang berkoefisien positif
  • b2 berada di area yang berkoefisien negatif
  • a2 + b2 = c2
  • jarak pusat ke puncak = a
  • jarak pusat ke fokus = c
  • jarak antar puncak 2a
  • jarak antar fokus = 2c
  • eksentrisitas e = c/a
  • jarak pusat ke persamaan direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris

 

Jawab :

a2 = 9 maka a = 3

b2 = 16 maka b = 4

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

maka c = 5

  • Jarak pusat ke puncak = a = 3
  • Jarak pusat ke fokus = c = 5
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 6
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 10
  • Koordinat titik pusat (–2, 3)
  • Koordinat puncak (1, 3) dan (–5, 3)

Untuk menentukan koordinat puncak kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak

Untuk menentukan puncak bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 + 3 = 1  maka puncaknya (1, 3)

Untuk menentukan puncak bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 – 3 = –5  maka puncaknya (–5, 3)

 

 

  • Koordinat fokus (3, 3) dan (–7, 3)

Untuk menentukan koordinat fokus kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus

Untuk menentukan fokus bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 + 5 = 3  maka fokusnya f1(3, 3)

Untuk menentukan fokus bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 – 5 = –7  maka fokusnya f2(–7,3)

 

  • Ekentrisitas e = c/a = 5/3
  • Panjang Latus rectum = 2b2/a = 2.42/5 = 32/5 = 6,4
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

Jika kita pilih bagian positif

3y – 9 = 4x + 8

4x – 3y + 17 = 0

Jika kita pilih yang negatif

3y – 9 = – (4x + 8)

3y – 9 = –4x – 8

4x + 3y –  1 = 0

Jadi persamaan asimtottnya ada 2, yaitu 4x – 3y + 17 = 0 dan 4x + 3y –  1 = 0

 

  • Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

Unuk menentukan persamaan direktrisnya, perhatikan gambar berikut :

pergeseran-hiperbola-menentukan-direktris

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puncak adalah (– 2, 3) sehingga absisnya adalah x = –2

Untuk direktris 1 (bagian kanan) maka nilai absis puncak ditambah 9/5

Untuk direktris 1 (bagian kiri) maka nilai absis puncak dikurangi 9/5

Jadi persamaan direkrisnya adalah  dan 

 

Contoh soal 2 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

  • Jarak pusat ke puncak
  • Jarak pusat ke fokus
  • Jarak antara 2 puncak
  • Jarak antara 2 fokus
  • Koordinat titik pusat
  • Koordinat titik puncak
  • Koordinat titik fokus
  • Eksentrisitas
  • Panjang latus rectum
  • Persamaan asimtot
  • Persamaan direktris
Jawab :

a2 = 36 maka a = 6

b2 = 64 maka b = 8

akibatnya

c2 = a2 + b2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

maka c = 10

  • Jarak pusat ke puncak = a = 6
  • Jarak pusat ke fokus = c = 10
  • Jarak antara 2 puncak = 2a = 12
  • Jarak antara 2 fokus = 2c = 20
  • Koordinat titik pusat (5, –4)
  • Koordinat puncak (5, 2) dan (5, –10)

 

pergeseran-hiperbola-menentukan-puncak-vertikal

Untuk menentukan puncak bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 + 6 = 2  maka puncaknya (5, 2)

Untuk menentukan puncak bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 – 6 = –10  maka puncaknya (5, –10)

 

  • Koordinat titik fokus f1(5, 6) dan f2(5, – 14)

pergeseran-hiperbola-menentukan-fokus-vertikal

Untuk menentukan fokus bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 + 10 = 6  maka fokusnya (5, 6)

Untuk menentukan fokus bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 – 10 = –14  maka fokusnya (5, –14)

  • Eksentrisitas e = c/a = 10/6 = 5/3
  • Panjang latus rectum = 2b2/a = 2.82/10 = 128/10 = 12,8
  • Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

64(y + 4)2 = 36(x – 5)2

Jika diakarkan maka

8(y + 4) =  6(x – 5)

8(y + 4) = 6(x – 5) atau 8(y + 4) = –6(x – 5)

8y + 32 = 6x – 30 atau 8y + 32 = –6x + 30

6x – 8y – 62 = 0 atay 6x + 8y + 2 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

direktris-hiperbola-vertikal

maka persamaan direktrsinya

y = – 4 + 3,6 = – 0,4

dan

y = –4 – 3,6 = – 7,6

 

 

Comments are closed.