Elips yang berpusat di (0, 0) memiliki persamaan sebagai berikut
Elips Horizontal :
Elips vertikal :
Jika elips ini bisa kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q sehingga persamaannya menjadi
Elips Horizontal :
Elips vertikal :
Semua aturan pada elips yang berpusat (0,0) yang masih berlaku adalah
- a > b
- a2 = b2 + c2
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Jarak antar fokus = 2c
- Jarak pusat ke fokus = c
- Jarak pusat ke puncak = a
- Eksentrisitas e = c/a
- Jarak pusat ke persamaan direktris adalah a/e
Untuk lebih jelasnya mari kita bahas contoh-contoh berikut ini
Contoh Soal 1 :
Diketahui persamaan elips
Tentukan :
- Panjang sumbu mayor
- Panjang sumbu minor
- jarak antar fokus
- koordinat titik pusat
- koordinat titik puncak
- koordinat titik fokus
- eksentrisitas
- persamaan direktris
- panjang latus rectum
Jawab :
dari persamaan diketahui
a2 = 25 maka a = 5
b2 = 9 maka b = 3
c2 = a2 — b2 = 25 — 9 = 16 maka c = 4
Panjang sumbu mayor = 2a = 10
Panjang sumbu minor = 2b = 6
Jarak antar fokus = 2c = 8
Menentukan koordinat titik pusat
x– 3 = 0 maka x = 3
y + 2 = 0 maka y = –2
Jadi koordinat titik pusat =(3, –2)
Menentukan koordinat titik puncak
Elips yang ada merupakan elips horizontal, karena nilai a berada di bagian x
Maka untuk menentukan puncak, absis koordinat titik pusat ditambah dengan 5 untuk mendapatkan puncak kanan, dan dikurangi 5 untuk mendapatkan puncak kiri
Jadi, koordinat puncak (8, –2) dan (–2, –2)
Menentukan koordinat fokus
Untuk menentukan puncak, absis koordinat titik pusat ditambah dengan 4 untuk mendapatkan fokus kanan, dan dikurangi 4 untuk mendapatkan fokus kiri
Jadi koordinat fokus (–1, –2) dan (7, –2)
Eksentrisitas
e = c/a = 4/5 = 0,8
Menentukan persamaan direktris
Jarak pusat ke direktris = a/e = 5/0,8 = 6,25
Jadi persamaan direktrisnya x = –3,25 dan x = 9,25
Menentukan panjang latus rectum
Latus rectum merupakan tali busur elips yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu utama. Jadi untuk menentukannya kita subtitusikan nilai x yang ada di salah satu titik fokus
Fokus (–1, –2) dan (7, –2)
Kita pilih x = –1 atau x = 7
Kita pilih saja x = 7 dan kita subtitusikan ke
Panjang latus rectum
= yatas — ybawah
Contoh Soal 2 :
Diketahui persamaan elips
Tentukan :
- Panjang sumbu mayor
- Panjang sumbu minor
- jarak antar fokus
- koordinat titik pusat
- koordinat titik puncak
- koordinat titik fokus
- eksentrisitas
- persamaan direktris
- panjang latus rectum
Jawab :
dari persamaan diketahui
a2 = 169 maka a = 13
b2 = 25 maka b = 5
c2 = a2 — b2 = 169 — 25 = 144 maka c = 12
Panjang sumbu mayor = 2a = 26
Panjang sumbu minor = 2b = 10
Jarak antar fokus = 2c = 24
Menentukan koordinat titik Pusat
x + 3 = 0 maka x = –3
y – 4 = 0 maka y = 4
Jadi koordinat pusat (–3, 4)