Ciri-Ciri Bilangan Habis Dibagi 3

Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi 3 adalah jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.

Contoh

24 habis dibagi 3 karena 2 + 4 = 6, sementara 6 habis dibagi 3

252 habis dibagi 3 sebab 2 + 5 + 2 = 9, sementara 9 habis dibagi 3

576 habis dibagi 3 sebab 5 + 7 + 6 = 21, sementara 21 habis dibagi 3

8748 habis dibagi 3 sebab 8 + 7 + 4 + 8 = 27, sementara 27 habis dibagi 3

32 tidak habis dibagi 3 sebab 3 + 2 = 5, sementara 5 tidak habis dibagi 3

581 tidak habis dibagi 3 sebab 5 + 8 + 3 = 16, sementara 16 tidak habis dibagi 3

 

Mengapa untuk mengetahui bilangan habis dibagi 3, jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 ?

Misalkan kita memiliki bilangan yang terdiri dari 4 angka, yaitu 

maka

bentuk 999a + 99b + 9c  pasti habis dibagi 3

maka jika a + b + c + d habis dibagi 3 tentulah  habis dibagi 3

jika pada  kita gantia nilai a dengan nol maka akan kita peroleh bilangan 3 angka , maka akibatnya untuk bilangan yang terdiri dari 3 angka juga terbukti

Jika a dan b sama-sama kita ganti dengan nol maka kita peroleh bilangan 2 angka , akibatnya untuk bilangan 2 angka juga terbukti

Bagaimana jika bilangannya lebih dari 5 angka?

Agara terbukti seluruhnya maka akan kita pilih bilangan yang terdiri dari n angka.

 

Misalkan kita memiliki bilangan yang terdiri dari n+1 angka

10nan  + 10n – 1an – 1 + 10n – 2an – 2 + …..+ 100a2 + 10a1 + ao

Selanjutnya bilanga bisa kita nyatakan menjadi

[(10n–1)an  + (10n – 1 –1)an – 1 + (10n – 2–1)an – 2 + …..+ 99a2 + 9a1 ]+ [an + an – 1 + an – 2 + ….+ a2 + a1 + ao]

Bentuk  (10n–1)an  + (10n – 1 –1)an – 1 + (10n – 2–1)an – 2 + …..+ 99a2 + 9a1  pasti habis dibagi 3

Akibatnya jika [an + an – 1 + an – 2 + ….+ a2 + a1 + ao] maka  habis dibagi 3

 

Deret Aritmetika Bertingkat

Secara umum, rumus suku ke n pada deret aritmetika adalah

Un = a + (n – 1) b

Rumus di atas bisa kita sebut rumus suku ke n untuk deret aritmetika tingkat 1.

Kita bisa juga membuat Rumus deret aritmetika tingkat 2, tingkat 3, tingkat 4, dan seterusnya

 

Agar lebih jelas, kita rinci sebagai berikut :

Deret aritmetika tingkat 1 :

atau

Deret aritmetika tingkat 2 :

atau

Deret aritmetika tingkat 3 :

atau

Deret aritmetika tingkat 4 :

Deret aritmetika bertingkat

atau

Deret bertingkat aritmetika

Rumus Un (jumlah suku ke n) di atas bisa dijadikan rumus jumlah n suku pertama (Sn), hanya saja beda tingkatannya. Jika suatu deret, Un nya merupakat deret aritmetika tingkat 3 maka Sn nya merupakan tingkat 4

 

Contoh soal 1 :

Tentukan jumlah 81 suku pertama deret berikut :

1 + 4 + 7 + 10 + …..

Jawab :

Kita bisa memecahkan soal ini dengan menggunakan cara biasa (deret aritmetika tingkat 1). Dengan ketentuan

Cara I :

a = 1                b = 4 – 1 = 3

Cara II:

Deret di atas merupakan deret aritmetika tingkat I, sehingga rumus Sn nya merupakan deret aritmetika tingkat 2

S1 = 1        S2 = 1 + 4 = 5     S3 = 1 + 4 + 7 = 12

S4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22       S5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

Selanjutnya, S1, S2, S3, S4, S5 kita susun sebagai berikut

Bilangan aritmetika bertingkat

Bilangan pada baris kedua diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris pertama

Bilangan pada baris ketiga diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris kedua

Karena pada baris ketiga bilangannya konstan maka kita tidak usah membuat baris keempat

Di setiap baris kita perhatikan bilangan awal saja, yaitu 1, 4, dan 3, ini artinya a = 1 , b = 4 dan c = 3

Sehingga

Jadi :

 

Contoh Soal 2 :

Jika bilangan ganjil dikelompokkan menjadi

(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29)……

Maka bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah …..

Jawab :

Kita ambil saja bilangan terakhir pada setiap suku

1, 5, 11, 19, 29, ….

Selanjutnya bilangan-bilangan ini kita cari selisih-selisih antar sukunya sebagai berikut :

deret kelompok

Dari setiap baris, kita ambil bilangan pertamanya, yaitu 1, 4, dan 2

deret kelompok bagian 2

maka a = 1, b = 4, c = 2

U50 = 1 + (50 – 1).4 + (50 – 1)(50 – 2).1

U50 = 1 + 196 + 2352 =2549

Jadi, bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah 2.549

 

Contoh Soal 3 :

Semua bilangan asli kelipatan 3 dikelompokkan sebagai berikut

(3), (6, 9, 12), (15, 18, 21, 24, 27), (30, 33, 36, 39, 42, 45, 48) , (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75), …..

Jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah ……

Jawab :

Jika kita lanjutkan kelompok berikutnya adalah

(78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108)

(111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147)

 

U1  = 3

U2 = 6 + 9 + 12 = 27

U3 = 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 105

U4 = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 = 273

U5 = 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 = 567

U6 =78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99 + 102 + 105 + 108 = 1023

U7 = 111 + 114 + 117 + 120 + 123 + 126 + 129 + 132 + 135 + 138 + 141 + 144 + 147 = 1677

Suku-suku ini kita cari selisihnya sebagai berikut

jumlah deret bertingkat

Selanjutnya bilangan-bilangan pertama masing-masing kita beri nama a, b, c, dan c

jumlah deret bertingkat bagian 2

Jadi, a = 3, b = 24, c = 54, d = 36

Maka

a = 3       27      105      273       567      1023       1677

 

 

b = 24       78       168      294     456         654

 

 

c = 54        90      126         162       198

 

d = 36       36        36      36

Un = 3 + (n – 1)24 + (n – 1)(n – 2)54/2 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)36/6

U101 = 3 + (100).24 + (100)(99).27 + (100)(99)(98).6

U101 = 3 + 2400 + 267.300 + 5.821.200 = 6.090.903

Jadi, jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah  6.090.903