Deret Aritmetika Bertingkat

Secara umum, rumus suku ke n pada deret aritmetika adalah

Un = a + (n – 1) b

Rumus di atas bisa kita sebut rumus suku ke n untuk deret aritmetika tingkat 1.

Kita bisa juga membuat Rumus deret aritmetika tingkat 2, tingkat 3, tingkat 4, dan seterusnya

 

Agar lebih jelas, kita rinci sebagai berikut :

Deret aritmetika tingkat 1 :

atau

Deret aritmetika tingkat 2 :

atau

Deret aritmetika tingkat 3 :

atau

Deret aritmetika tingkat 4 :

Deret aritmetika bertingkat

atau

Deret bertingkat aritmetika

Rumus Un (jumlah suku ke n) di atas bisa dijadikan rumus jumlah n suku pertama (Sn), hanya saja beda tingkatannya. Jika suatu deret, Un nya merupakat deret aritmetika tingkat 3 maka Sn nya merupakan tingkat 4

 

Contoh soal 1 :

Tentukan jumlah 81 suku pertama deret berikut :

1 + 4 + 7 + 10 + …..

Jawab :

Kita bisa memecahkan soal ini dengan menggunakan cara biasa (deret aritmetika tingkat 1). Dengan ketentuan

Cara I :

a = 1                b = 4 – 1 = 3

Cara II:

Deret di atas merupakan deret aritmetika tingkat I, sehingga rumus Sn nya merupakan deret aritmetika tingkat 2

S1 = 1        S2 = 1 + 4 = 5     S3 = 1 + 4 + 7 = 12

S4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22       S5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

Selanjutnya, S1, S2, S3, S4, S5 kita susun sebagai berikut

Bilangan aritmetika bertingkat

Bilangan pada baris kedua diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris pertama

Bilangan pada baris ketiga diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris kedua

Karena pada baris ketiga bilangannya konstan maka kita tidak usah membuat baris keempat

Di setiap baris kita perhatikan bilangan awal saja, yaitu 1, 4, dan 3, ini artinya a = 1 , b = 4 dan c = 3

Sehingga

Jadi :

 

Contoh Soal 2 :

Jika bilangan ganjil dikelompokkan menjadi

(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29)……

Maka bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah …..

Jawab :

Kita ambil saja bilangan terakhir pada setiap suku

1, 5, 11, 19, 29, ….

Selanjutnya bilangan-bilangan ini kita cari selisih-selisih antar sukunya sebagai berikut :

deret kelompok

Dari setiap baris, kita ambil bilangan pertamanya, yaitu 1, 4, dan 2

deret kelompok bagian 2

maka a = 1, b = 4, c = 2

U50 = 1 + (50 – 1).4 + (50 – 1)(50 – 2).1

U50 = 1 + 196 + 2352 =2549

Jadi, bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah 2.549

 

Contoh Soal 3 :

Semua bilangan asli kelipatan 3 dikelompokkan sebagai berikut

(3), (6, 9, 12), (15, 18, 21, 24, 27), (30, 33, 36, 39, 42, 45, 48) , (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75), …..

Jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah ……

Jawab :

Jika kita lanjutkan kelompok berikutnya adalah

(78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108)

(111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147)

 

U1  = 3

U2 = 6 + 9 + 12 = 27

U3 = 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 105

U4 = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 = 273

U5 = 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 = 567

U6 =78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99 + 102 + 105 + 108 = 1023

U7 = 111 + 114 + 117 + 120 + 123 + 126 + 129 + 132 + 135 + 138 + 141 + 144 + 147 = 1677

Suku-suku ini kita cari selisihnya sebagai berikut

jumlah deret bertingkat

Selanjutnya bilangan-bilangan pertama masing-masing kita beri nama a, b, c, dan c

jumlah deret bertingkat bagian 2

Jadi, a = 3, b = 24, c = 54, d = 36

Maka

a = 3       27      105      273       567      1023       1677

 

 

b = 24       78       168      294     456         654

 

 

c = 54        90      126         162       198

 

d = 36       36        36      36

Un = 3 + (n – 1)24 + (n – 1)(n – 2)54/2 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)36/6

U101 = 3 + (100).24 + (100)(99).27 + (100)(99)(98).6

U101 = 3 + 2400 + 267.300 + 5.821.200 = 6.090.903

Jadi, jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah  6.090.903

 

 

Limit Dengan Deret Maclaurin

Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan

Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.

Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.

Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga

sin x ≈ x

cos x ≈ 1

tan x ≈ x

Jika x kita ganti dengan 2x maka

sin 2x ≈ 2x

cos 2x ≈ 1

tan 2x ≈ 2x

Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka

sin ax ≈ ax

cos ax ≈ 1

tan ax ≈ ax

Bagaimana jika adabentuk 1 – cos x ?

untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 – cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 – ½x2 .

Sehingga

1 – cos x ≈ 1 – (1 – ½x2) = 1 – 1 + ½x2= ½x2

Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?

Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku

tan x – sin x ≈ x + ⅓ x3 – (x – ⅙ x3)

= x + ⅓ x3 – x + ⅙ x3 = ½ x3

 

Contoh soal 1 :

  

Jawab :

  

  

 

 

Contoh Soal 2 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 3 :

  

Jawab :

  

  

 

Contoh Soal 4 :

 

Jawab :

Karena 1 – cos x ≈  ½x2

Maka 1 – cos 4x ≈  ½(4x)2

=½ .16x2 = 8x2

sehingga