Materi logaritma SMA cenderung hanya memberikan sifat-sifat logaritma dan pembahasan soal-soal. Jarang ada yang membuktikan semua rumusnya. Melalui tulisan ini saya akan membuktikan semua rumus-rumusnya
Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara definisi logaritma dinyatakan sebagai berikut
Jika ab = c maka b = alogc
a disebut basis
c disebut numerus
c > 0
0 < a < 1 atau a > 1
Sifat 1 :
Jika ab = c ………………………(1)
maka b = alogc …………………(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka
alog ab = b
Sifat 2
Misalkan
ax = b maka x = alog b
ay = cmaka y = alog c
Jika dikaliakan maka
ax.ay = bc
sehingga ax+y = bc
jadi x + y = alog bc
Dengan mengganti x dan y maka diperoleh
alog b + alog c = alog bc
Sekarang kita lakukan pembagian
ax/ay = b/c
ax — y = b/c
x-y = alog bc
sekarang kita ganti x dan y nya
alog b — alog c = alog b/c
SIfat 3
alog b + alog c = alog bc
alog b + alog b = alog b2
2alog b = alog b2
alog b2 = 2alog b
Dengan mudah akan kita buktikan bahwa
alog bn = nalog b
Sifat 4
misalkan alog b = p
maka b = ap
Jika kedua ruas kita beri clog maka
clog b = clog ap
dengan menggunakan sifat 2 maka
clog b = p.clog a
Jadi
Dengan mengganti p maka
Jika kita pilih c = 10 maka basis tidak usah ditulis, sehingga
Sifat 5
Dengan bantuan sifat 3 dan 4 maka
Jadi :
Sifat 6
Dengan memakai sifat 4 maka
Sehingga
Sifat 7 :
Kita pakai sifat 4 lagi
Jadi :
Sifat 7 :
Jika ac = b ………………………….(1)
maka c = alog b ……………………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan 2 ke persamaan (1) diperoleh
Sifat 8 :
Jika kedua ruas diberi blog maka
Pangkat pada numerus bisa turun sehingga
Dengan memakai sifat komutatif maka
Bentuk ini bisa kita ubah menjadi
Jadi :
Dengan demikian
