Irisan Kerucut Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.

Yang dimaksud dengan titik tertentu adalah titik pusat, jaraknya sama disebut jari-jari

irisan kerucut lingkaran

Pada segitiga siku-siku yang ada di gambar, berlaku pythagoras, yaitu :

x2 + y2 = r2

Bentuk teakhir ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Jika lingkaran berpusat di (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut

persamaan lingkaran

dengan memakai pythagoras kita akan mendapatkan

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

 

Selanjutnya jika persamaan ini kita uraikan maka diperoleh

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Bentuk ini bisa kita ubah sebagai berikut

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan

A = -2a → a = -1/2 A

B = -2b → b = -1/2 B

a2 + b2 – r2 = C

r2 =a2 + b2 – C

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

dengan Pusat

dan jari-jari

 

Contoh soal 1

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dengan jari-jari 7 adalah ….

Jawab :

(a, b) = (3, 6) dengan R = 7
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72
x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 49
x2 + y2 – 6x – 12y – 4 = 0

 

Contoh soal 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 8x – 6y – 24 = 0

 

Jawab :

A = 8    B = -6    C = -24

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu y

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 2 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 22
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 4
x2+y2-4x + 10y + 25 =0

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

lingkaran menyinggung sumbu x

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 5 maka
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25
x2+y2-4x + 10y + 4 =0

 

Contoh soal 5 :

Persamaan lingkaran (2t -3)x2 + (9-t)y2 +50x – 40y -115 = 0 memiliki pusat dan jari-jari …

 

Jawab :

agar persamaan di atas menjadi persamaan lingkaran maka

koefisien x2 = koefisien y2

2t – 3 = 9 – t

3t = 12

t = 4

sehingga

5x2 + 5y2 +50x – 40y -115 = 0

x2 + y2 +10x – 8y -23 = 0

A = 10    B = -8  C = -23

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 6 :

Jika A (-3, -5) dan B(7, 1) maka persamaan lingkaran dengan diameter AB adalah ….

Jawab : 

lingkaran dengan diameter

Pusat

(x-a)2 +(y-b)2 = R2
(x-2)2 +(y+2)2 = R2
Lingkaran melalui (7, 1) sehingga
(7-2)2 +(1+2)2 = R2
25 + 9 = R2
R2 = 41
Jadi persamaan lingkarannya adalah
(x-2)2 +(y+2)2 = 41
x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 41
x2 + y2 – 4x + 4y – 33 = 0

 

 

 

Comments are closed.