Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.
Yang dimaksud dengan titik tertentu adalah titik pusat, jaraknya sama disebut jari-jari
Pada segitiga siku-siku yang ada di gambar, berlaku pythagoras, yaitu :
x2 + y2 = r2
Bentuk teakhir ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r
Jika lingkaran berpusat di (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut
dengan memakai pythagoras kita akan mendapatkan
(x — a)2 + (y — b)2 = r2
Selanjutnya jika persamaan ini kita uraikan maka diperoleh
x2 — 2ax + a2 + y2 — 2by + b2 = r2
x2 + y2 — 2ax — 2by + a2 + b2 — r2 = 0
Bentuk ini bisa kita ubah sebagai berikut
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
dengan
A = -2a → a = -1/2 A
B = -2b → b = -1/2 B
a2 + b2 — r2 = C
r2 =a2 + b2 — C
Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
dengan Pusat
dan jari-jari
Contoh soal 1
Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dengan jari-jari 7 adalah ….
Jawab :
(a, b) = (3, 6) dengan R = 7
(x — a)2 + (y — b)2 = R2
(x — 3)2 + (y — 6)2 = 72
x2 — 6x + 9 + y2 — 12y + 36 = 49
x2 + y2 — 6x — 12y — 4 = 0
Contoh soal 2
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 8x — 6y — 24 = 0
Jawab :
A = 8 B = -6 C = -24
Pusat
Jari-Jari
Contoh soal 3 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y
Jawab :
Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 2 maka
(x — a)2 + (y — b)2 = R2
(x — 2)2 + (y + 5)2 = 22
x2 — 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 4
x2+y2-4x + 10y + 25 =0
Contoh soal 4 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y
Jawab :
Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 5 maka
(x — a)2 + (y — b)2 = R2
(x — 2)2 + (y + 5)2 = 52
x2 — 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25
x2+y2-4x + 10y + 4 =0
Contoh soal 5 :
Persamaan lingkaran (2t -3)x2 + (9-t)y2 +50x — 40y -115 = 0 memiliki pusat dan jari-jari …
Jawab :
agar persamaan di atas menjadi persamaan lingkaran maka
koefisien x2 = koefisien y2
2t — 3 = 9 — t
3t = 12
t = 4
sehingga
5x2 + 5y2 +50x — 40y -115 = 0
x2 + y2 +10x — 8y -23 = 0
A = 10 B = -8 C = -23
Pusat
Jari-Jari
Contoh soal 6 :
Jika A (-3, -5) dan B(7, 1) maka persamaan lingkaran dengan diameter AB adalah ….
Jawab :
Pusat
(x-a)2 +(y-b)2 = R2
(x-2)2 +(y+2)2 = R2
Lingkaran melalui (7, 1) sehingga
(7-2)2 +(1+2)2 = R2
25 + 9 = R2
R2 = 41
Jadi persamaan lingkarannya adalah
(x-2)2 +(y+2)2 = 41
x2 — 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 41
x2 + y2 — 4x + 4y — 33 = 0