Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri
Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri
∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin x dx = -cos x + c
∫ sec2 x = tan x + c
∫ csc2 x = -cot x + c
∫sec x tan x = sec x + c
∫ csc x cot x = — csc x + c
Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi
∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
∫ sec2 (ax + b) = 1/a tan (ax + b) + c
∫ csc2 (ax + b) = — 1/a cot (ax + b) + c
∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c
∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = — 1/a csc (ax + b) + c
Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya
Contoh 1
∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….
Jawab :
∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x — 1/5 cos 5x + c
Contoh 2 :
∫(x — 1) sin (x2 — 2x + 5) dx = …
Jawab :
misal
y = x2 — 2x + 5
dy/dx = 2x — 2
dx = dy/(2x — 2) = 1/2 dy/(x — 1)
Jadi,
∫(x — 1) sin (x2 — 2x + 5) dx
= ∫(x — 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)
= ∫ 1/2 sin y dy
= — 1/2 cos y + c
= — 1/2 cos (x2 — 2x + 5) + c
Contoh 3 :
∫ (x2 — 4x) cos (x3 — 6x2 + 7) dx = …
Jawab :
misal y = x3 — 6x2 + 7
maka dy/dx = 3x2 — 12x
sehingga dx = dy/(3x2 — 12x)
atau dx = 1/3 dy/(x2 — 4x)
Jadi
∫ (x2 — 4x) cos (x3 — 6x2 + 7) dx
= ∫ (x2 — 4x) cos y 1/3 dy/(x2 — 4x)
= 1/3 ∫ cos y dy
= 1/3 sin y + c
= 1/3 sin (x3 — 6x2 + 7) + c
Sebelum kita lanjutan ke contoh berikutnya, ungat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A — B)
2 cos A sin B = sin (A + B) — sin (A — B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A — B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) — cos (A — B)
Contoh 4 :
∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….
Jawab :
∫ 2 cos 7x cos 2x dx
= ∫ cos 9x + cos 5x dx
= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c
Contoh 5
∫ sin 5x cos 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 5x cos 3x dx
= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx
= 1/2 ( — 1/8 cos 8x — 1/2 cos 2x) + c
= — 1/16 cos 8x — 1/4 cos 2x + c
Contoh 6 :
∫ sin 6x sin 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 6x sin x dx
= — 1/2 ∫ (cos 7x — cos 5x) dx
= — 1/2 ( 1/7 sin 7x — 1/5 sin 5x) + c
= — 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c
Ingat juga rumus-rumus berikut
sin2 x = 1/2 — 1/2 cos 2x
cos2 x = 1/2 + 1/2 cos 2x
Contoh 7 :
∫ cos2 x dx = …
Jawab :
∫ cos2 x dx
= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c
Contoh 8 :
∫sin2 x dx = …
Jawab :
∫sin2 x dx
= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x — 1/4 sin 2x + c
Contoh 9 :
∫ cos2 3x dx
Jawab :
∫ cos2 3x dx
= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx
= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c
Contoh 10 :
∫sin2 7x dx
Jawab :
∫ sin2 7x dx
= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 14x) dx
= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c
Contoh 11 :
∫ cos4 x dx
Jawab :
∫ cos4 x dx
=∫ (cos2 x)2 dx
= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)2 dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c
Contoh 12 :
∫sin4 x dx = …
Jawab :
∫sin4 x dx
=∫ (sin2 x)2 dx
= ∫ (1/2 — 1/2 cos 2x)2 dx
= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx
= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 — 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x — 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c