Integral Trigonometri

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri

Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ sec2 x = tan x + c

∫ csc2 x = -cot x + c

∫sec x tan x = sec x + c

∫ csc x cot x = — csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c

∫ sec2 (ax + b) = 1/a tan (ax + b) + c

∫ csc2 (ax + b) = — 1/a cot (ax + b) + c

∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c

∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = — 1/a csc (ax + b) + c

 

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….

Jawab :

∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x — 1/5 cos 5x + c

 

Contoh 2 :

∫(x — 1) sin (x2 — 2x + 5) dx = …

Jawab :

misal

y = x2 — 2x + 5

dy/dx = 2x — 2

dx = dy/(2x — 2) = 1/2 dy/(x — 1)

Jadi,

∫(x — 1) sin (x2 — 2x + 5) dx

= ∫(x — 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)

= ∫ 1/2 sin y dy

= — 1/2 cos y + c

= — 1/2 cos (x2 — 2x + 5) + c

 

Contoh 3 :

∫ (x2 — 4x) cos (x3 — 6x2 + 7) dx = …

Jawab :

misal y = x3 — 6x2 + 7

maka dy/dx = 3x2 — 12x

sehingga dx = dy/(3x2 — 12x)

atau dx = 1/3 dy/(x2 — 4x)

Jadi

∫ (x2 — 4x) cos (x3 — 6x2 + 7) dx

= ∫ (x2 — 4x) cos y 1/3 dy/(x2 — 4x)

= 1/3 ∫ cos y dy

= 1/3 sin y + c

= 1/3 sin (x3 — 6x2 + 7) + c

 

Sebelum kita lanjutan ke contoh berikutnya, ungat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A — B)

2 cos A sin B = sin (A + B) — sin (A — B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A — B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) — cos (A — B)

 

Contoh 4 :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….

Jawab :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx

= ∫ cos 9x + cos 5x dx

= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

 

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

= 1/2 ( — 1/8 cos 8x — 1/2 cos 2x) + c

= — 1/16 cos 8x — 1/4 cos 2x + c

 

Contoh 6 :

∫ sin 6x sin 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 6x sin x dx

= — 1/2 ∫ (cos 7x — cos 5x) dx

= — 1/2 ( 1/7 sin 7x — 1/5 sin 5x) + c

= — 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

 

Ingat juga rumus-rumus berikut

sin2 x = 1/2 — 1/2 cos 2x

cos2 x = 1/2 + 1/2 cos 2x

 

Contoh 7 :

∫ cos2 x dx = …

Jawab :

∫ cos2 x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 8 :

∫sin2 x dx = …

Jawab :

∫sin2 x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x — 1/4 sin 2x + c

 

Contoh 9 :

∫ cos2 3x dx

Jawab :

∫ cos2 3x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx

= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

 

Contoh 10 :

∫sin2 7x dx

Jawab :

∫ sin2 7x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 14x) dx

= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

 

Contoh 11 :

∫ cos4 x dx

Jawab :

∫ cos4 x dx

=∫ (cos2 x)2 dx

= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)2 dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

 

Contoh 12 :

∫sin4 x dx = …

Jawab :

∫sin4 x dx

=∫ (sin2 x)2 dx

= ∫ (1/2 — 1/2 cos 2x)2 dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 cos2 2x) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 — 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x — 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c