Integral Parsial

Parsial berarti bagian, jadi integral parsial adalah integral yang kita kerjakan sebagian demi sebagian

y = uv

y’ = u’v + uv’

dy/dx = (du/dx)v + u (dv/dx)

dy = vdu + udv

∫dy = ∫vdu + ∫udv

y = ∫vdu + ∫udv

uv = ∫vdu + ∫udv

∫udv = uv – ∫vdu

 

Contoh 1 :

∫x cos x dx = …

Jawab :

u = x     →  du = dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx

∫x cos x dx =x sin x + cos x + c

 

Contoh 2 :

∫x2 sin x dx = …

 Jawab :

u = x2  → du = 2x dx

dv = sin x dx   → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x2 sin x dx = x2 (-cos x) – ∫- cos x . 2x dx

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2∫x cos x  dx

dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh

∫x2 sin x dx =  -x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + c

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + c

 

Contoh 3 :

∫x3 cos x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = cos x dx  → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x3 cos x dx = x3 sin x – ∫sin x . 3x2 dx

∫x3 cos x dx = x3 sin x – 3∫x2 sin x dx

dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh

∫x3 cos x dx = x3 sin x – 3(-x2 cos x + 2x sin x + 2cos x) + c

∫x3 cos x dx = x3 sin x + 3x2 cos x – 6x sin x – 6cos x + c

 

Contoh 4 :

∫x3 sin x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = sin x dx  → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x3 sin x dx = x3 (-cos x) – ∫(-cosx) 3x2 dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3∫ x2 cosx dx ……………………..(1)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x2  → du = 2x dx

dv = cos x dx   → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x2 cos x dx = x2 sin x – ∫sin x . 2x dx

∫x2 cos x dx = x2 sin x – 2∫x sin x  dx ……………………….(2)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x     →  du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx

∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)

Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

∫x2 cos x dx = x2 sin x – 2(-xcos x +∫cos x dx)

∫x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx

Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3(x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6sin x  + c

 

 

Comments are closed.