Garis singgung lingkaran di titik (x1, y1) bisa dikategorikan menjadi 3 macam
1. Untuk lingkaran x2 + y2 = R2 maka garis singgungnya adalah
x1x + y1y = R2
2. Untuk lingkaran (x — a)2 + (y — b)2 = R2 maka garis singgungnya adalah
(x1 — a)(x — a)+ (y1 — b)(y — b) = R2
3. Untuk lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka garis singgungnya adalah
x1x + y1y + ½ A(x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0
Contoh Soal 1 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 289 di titik (8, –15)
Jawab :
x1x + y1y = 289
8x — 15y = 289
Contoh Soal 2 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 3)2 + (y + 2)2 = 625 di titik (10, 22)
Jawab :
(x1 — 3)(x — 3) + (y1 + 2)(y + 2) = 625
(10 — 3)(x — 3) + (22 + 2)(y + 2) = 625
7(x — 3) + 24(y + 2) = 625
7x — 21 + 24y + 48 = 625
7x + 24y = 598
Contoh Soal 3 :
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 8x — 4y + 6 = 0 di titik (1, 3) adalah …
Jawab :
x1x + y1y + ½ .8(x + x1) + ½ (–4)(y + y1) + 6 = 0
1.x + 3y + 4(x + 1) — 2 (y + 3) + 6 = 0
x + 3y + 4x + 4 — 2y — 6 + 6 = 0
5x + y + 4 = 0
Contoh soal 4 :
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 — 10x — 12y — 39 = 0 di titik yang berabsis 12 adalah …
Jawab :
x = 11
x2 + y2 — 10x — 12y — 39 = 0
121 + y2 — 110 — 12y — 39 = 0
y2 — 12y — 28 = 0
(y — 14)(y + 2) = 0
y = 14 atau y = — 2
Selanjutnya persamaan garis singgungnya adalah
x1.x + y1.y — 5(x + x1) — 6(y + y1) — 39 = 0
untuk (x1, y1) = (11, 14)
11x + 14y — 5(x + 11) — 6(y + 14) — 39 = 0
11x + 14y — 5x — 55 — 6y — 84 — 39 = 0
6x + 8y — 178 = 0
untuk (x1, y1) = (11, –2)
11x — 2y — 5(x + 11) — 6(y + 2) — 39 = 0
11x — 2y — 5x — 55 — 6y — 12 — 39 = 0
6x — 8y — 106 = 0
Contoh soal 5 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 5)2 + (y + 7)2 = 289 di titik yang berordinat 8
Jawab :
y = 8
(x — 5)2 + (y + 7)2 = 289
(x — 5)2 + (8 + 7)2 = 289
(x — 5)2 + 225 = 289
(x — 5)2 = 64
x — 5 = — 8 atau x — 5 = 8
x = — 3 atau x = 13
Persamaan garis singgungnya :
(x1 — 5)(x — 5) + (y1 + 7)(y + 7) = 289
Untuk (x1, y1) = (–3, 8)
(–3 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289
–8(x — 5) + 15(y + 7) = 289
–8x + 40 + 15y + 105 = 289
–8x + 15y + 145 = 289
8x — 15y + 144 = 0
Untuk (x1, y1) = (13, 8)
(13 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289
8(x — 5) + 15(y + 7) = 289
8x — 40 + 15y + 105 = 289
8x + 15y + 65 = 289
8x + 15y –224 = 0
Contoh soal 6 :
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x – 10y — 135 = 0 di titik potongnya dengan sumbu x adalah …
Jawab :
Titik potong sumbu x
y = 0
x2 + y2 + 6x – 10y — 135 = 0
x2 + 0 + 6x – 0 — 135 = 0
x2 + 6x – 135 = 0
(x + 15)(x — 9) = 0
x = — 15 atau x = 9
Persamaan garis singgungnya adalah
x1x + y1y + 3(x + x1) — 5(y + y1) — 135 = 0
untuk (x1, y1) = (–15, 0)
–15x + 0 + 3(x — 15) — 5(y + 0) — 135 = 0
–15x + 3x — 45 — 5y – 135 = 0
12x + 5y + 180 = 0
untuk (x1, y1) = (9, 0)
9x + 0 + 3(x + 9) — 5(y + 0) — 135 = 0
9x + 3x + 27 — 5y — 135 = 0
12x — 5y — 108 = 0